https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1950/Kaiseki_I

2025.11.19記

[4] $b$ ， $c$ を実数とすれば，方程式 $x^4+2bx^2+c=0$ の実根の個数は $4，2$ 或いは $0$ である．各場合に應じて係数 $b，c$ の満足すべき條件はどうなるか．

2025.11.26記
「 $x^4+2bx^2+c=0$ の実根の個数は $4，2$ 或いは $0$ である」とあるので「重根は $2$ 個と数える」ことを読み取らなければいけません．

[解答]
問題文から重解は重複度も含めて数えなければならない． $t^2+2bt+c=0$ …(★)とする．

(i) $4$ 個の場合：(★)が2つの非負の解を持つので
「 $b^2-c\geqq 0$ かつ $b\leqq 0$ かつ $c\geqq 0$ 」

(ii) $2$ 個の場合：(★)が1つの負の解と1つの非負の解を持つ（正負の解を1つずつ，または0と負の解）ので
「 $c\lt 0$ または「 $c=0$ かつ $b\gt 0$ 」」

(iii) $0$ 個の場合：(★)が2つの負の解を持つ，または虚数解を持つので
「「 $b^2-c\geqq 0$ かつ $b\gt 0$ かつ $c\gt 0$ 」または「 $b^2-c\lt 0$ 」」

となる．