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1950年(昭和25年)京都大学(新制)-数学(解析ＩＩ)[4]

[4] 三つの函数 $f(x)=x^{a}$ ， $g(x)=a^x$ ， $h(x)=x^x$ をぞれぞれ $x$ について微分せよ（但し $x\gt 0$ ）．そしてこの三函数各々の $x=a$ の近傍のグラフの略図を同一図に描き入れ，その大小関係を明にせよ．但し $a$ は整数とし $a\gt 1$ とする．

2025.11.26記

[解答]
$f'(x)=a x^{a-1}$ ， $g'(x)=(\log a) a^{x}$ である．

$h(x)=e^{x\log x}$ であるから $h'(x)=e^{x\log x}(\log x+1)=x^x(\log x+1)$ である．

このとき
$f'(a)=a^a$ ， $g'(a)=(\log a)a^a$ ， $h'(a)=f'(a)+g'(a)$
となる．ここで $a\lt e$ のとき $\log a\lt 1$ ， $a\gt e$ のとき $\log a\gt 1$ となることに注意すると

$a=2$ のとき，3つの関数は $(2，4)$ を通り，接線の傾きは $0\lt g'(a)\lt f'(a) \lt h'(a)$ を満たす．

$a\geqq 3$ のとき，3つの関数は $(a，a^a)$ を通り，接線の傾きは $0\lt f'(a)\lt g'(a) \lt h'(a)$ を満たす．

（図示略）

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