https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1949/Kika

2025.11.22記

[4] 次の問(i)に於ては空白の箇所を適当に補つて定理を結論し，(ii)に於ては推論の誤れる箇所を指摘してそのわけを(i)の定理を用いて明かにせよ．

(i) 三角形 $\mbox{ABC}$ の外接円の弧 $\mbox{BC}$ 上の一点 $\mbox{P}$ から三辺 $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ に下した垂線の足を夫々 $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{F}$ とする． $\angle\mbox{PDC}$ ， $\angle\mbox{PEC}$ は何れも直角であるから，四点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{C}$ は同一円周上にあり，従つて $\angle\mbox{CDE}=\angle\mbox{EPC}$

同様に四点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{F}$ は同一円周上にあり，従つて
$\angle\mbox{BDF}=\angle\mbox{FPB}$

然るに四点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{C}$ は同一円周上にあるから $\angle\mbox{BPC}$ は $\angle\mbox{BAC}$ の補角である．また $\angle\mbox{PEA}$ ， $\angle\mbox{PFA}$ は何れも直角であるから $\angle\mbox{FPE}$ は $\angle\mbox{BAC}$ の補角である．

∴ $\fbox{$\angle\phantom{BBB}=\angle\phantom{BBB}$}$
∴ $\fbox{$\angle\phantom{BBB}=\angle\phantom{BBB}$}$

依つて弧 $\mbox{BC}$ 上の一点 $\mbox{P}$ から三角形 $\mbox{ABC}$ の
$\fbox{$\phantom{BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB}$}$

(ii) 任意の三角形 $\mbox{ABC}$ に於て $\angle\mbox{BAC}$ の二等分線が三角形 $\mbox{ABC}$ の外接円と交わる点を $\mbox{P}$ とし， $\mbox{P}$ から $\mbox{AB}$ ， $\mbox{AC}$ に下した垂線の足を夫々 $\mbox{F}$ ， $\mbox{E}$ とすれば

$\triangle\mbox{AFP}\equiv\triangle\mbox{AEP}$ ， $\triangle\mbox{BFP}\equiv\triangle\mbox{CEP}$

∴ $\mbox{AF}=\mbox{AE}$ ， $\mbox{FB}=\mbox{EC}$ ，

従つて $\mbox{AB}=\mbox{AF}+\mbox{FB}=\mbox{AE}+\mbox{EC}=\mbox{AC}$

本問のテーマ

シムソン線

2025.11.23記

[解答]
(i) 順に
$\fbox{$\angle\mbox{BPF}=\angle\mbox{EPC}$}$
$\fbox{$\angle\mbox{BDF}=\angle\mbox{CDE}$}$
$\fbox{各辺に下した垂線の足は同一直線上にある}$
となる．

(ii) $\mbox{AB}=\mbox{AF}+\mbox{FB}=\mbox{AE}+\mbox{EC}=\mbox{AC}$ が誤りである．

(i) より $\mbox{F}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ は同一直線上にあるが， $\mbox{D}$ が線分 $\mbox{BC}$ 上にあることに注意すると，直線 $\mbox{FE}$ は辺 $\mbox{BC}$ で $\triangle\mbox{ABC}$ を横切るので

$\mbox{F}$ が線分 $\mbox{AB}$ 上にあるときは $\mbox{E}$ が直線 $\mbox{AC}$ 上の $\mbox{C}$ に対して $\mbox{A}$ と反対側にあるので
$\mbox{AB}=\mbox{AF}+\mbox{FB}$ ， $\mbox{AC}=\mbox{AE}-\mbox{EC}$ $=\mbox{AF}-\mbox{FB}$ となる．

また $\mbox{E}$ が線分 $\mbox{AC}$ 上にあるときは $\mbox{F}$ が直線 $\mbox{AB}$ 上の $\mbox{B}$ に対して $\mbox{A}$ と反対側にあるので
$\mbox{AB}=\mbox{AF}-\mbox{FB}$ ， $\mbox{AC}=\mbox{AE}+\mbox{EC}$ $=\mbox{AF}+\mbox{FB}$ となる．

いずれにせよ $\mbox{AB}\neq\mbox{AC}$ である．