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1949-03-10

1949年(昭和24年)京都大学(新制)-数学(解析ＩＩ)[3]

2025.11.22記

[3] 底辺を除く他の三辺の長さが何れも $a$ なる梯形のうち，面積最大なものを求めよ．

2025.11.23記

[解答]
梯形の4頂点を $(0，0)$ ， $(a\cos\theta，a\sin\theta)$ （ $0\lt\theta\lt\dfrac{2}{3}\pi$ ）， $(-a，0)$ ， $(-a-a\cos\theta，a\sin\theta)$ とおくことができる．このとき面積は
$S(\theta)=a^2(1+\cos\theta)\sin\theta$
となる．
$S(\theta)=a^2(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)$
の $0\lt\theta\lt\dfrac{2}{3}\pi$ における増減表（省略）により $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のときに $S(\theta)$ は最大値 $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2$ をとる．

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