https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1936/Rigaku

2025.01.24記

[3] $\dfrac{7x^2+12x+2}{(x+1)^3(x-2)}$ ヲ部分分數ニテ表ハセ．

2025.01.29記
部分分数分解の理論についてはヘビサイドのカバーアップ法などがあるが，そこまで頑張らなくても良い．

[解答]
$\dfrac{7x^2+12x+2}{(x+1)^3(x-2)}$ $=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}+\dfrac{C}{(x+1)^3}+\dfrac{D}{x-2}$
とおく．両辺に $x-2$ を掛けてから $x=2$ を代入すると $\dfrac{54}{27}=D$ から $D=2$ である．このとき $x+1=t$ とおくと
$\dfrac{7(t-1)^2+12(t-1)+2}{t^3(t-3)}$ $=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t^2}+\dfrac{C}{t^3}+\dfrac{2}{t-3}$
から
$\dfrac{7(t-1)^2+12(t-1)+2-2t^3}{t^3(t-3)}$ $=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t^2}+\dfrac{C}{t^3}$
を経て
$\dfrac{-2t^2+t+1}{t^3}$ $=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t^2}+\dfrac{C}{t^3}$
となるので $A=-2$ ， $B=C=1$ となり，
$\dfrac{7x^2+12x+2}{(x+1)^3(x-2)}$ $=-\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{(x+1)^3}+\dfrac{2}{x-2}$
となる．