https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1936/Rigaku

2025.01.24記

[1] 平面上ニ於テ $\mbox{A}$ ， $\mbox{A}’$ ヲ二定點トシ此平面上ニ於テ點 $\mbox{P}$ ヨリ直線 $\mbox{AA}’$ ニ下セル垂線ノ長サヲ $\mbox{PM}$ トスレバ $\overline{\mbox{PM}}^2=k\cdot\mbox{AM}\cdot\mbox{MA}'$ （ $k$ ハ常數）ナル如キ點 $\mbox{P}$ ノ軌跡ハ如何ナル曲線ナルカ．

2025.01.29記
条件 $\overline{\mbox{PM}}^2=k\cdot\mbox{AM}\cdot\mbox{MA}'$ において当時の問題集や参考書では同一直線上の点の線分を有向線分とする場合もある．まずは現代的に線分の長さと考えた解答，次に有向線分と考えた解答を載せる．

また，2定点とあるので $\mbox{A}'\neq \mbox{A}$ とする．

[線分の長さと考えた解答]
$\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{A}'(-a，0)$ （ $a\neq 0$ ）， $\mbox{P}(x，y)$ とおくと $\mbox{M}(x，0)$ であり，
$\overline{\mbox{PM}}^2=k\cdot\mbox{AM}\cdot\mbox{MA}'$
は
$y^2=k|x^2-a^2|$
となるので

(i) $k\lt 0$ のとき2点 $(\pm a，0)$ ．

(ii) $k=0$ のとき $x$ 軸．

(iii) $k\gt 0$ のとき楕円 $kx^2+y^2=ka^2$ と双曲線 $kx^2-y^2=ka^2$ をあわせた曲線．

となる．

[有向線分と考えた解答]
$\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{A}'(-a，0)$ （ $a\neq 0$ ）， $\mbox{P}(x，y)$ とおくと $\mbox{M}(x，0)$ であり，
$\overline{\mbox{PM}}^2=k\cdot\mbox{AM}\cdot\mbox{MA}'$
は
$y^2=k(x-a)(-a-x)=k(a^2-x^2)$ ，
つまり
$kx^2+y^2=ka^2$
となるので

(i) $k\gt 0$ のとき楕円 $x^2+\dfrac{y^2}{\sqrt{k}^2}=a^2$

(ii) $k=0$ のとき $x$ 軸．

(iii) $k\lt 0$ のとき双曲線 $x^2-\dfrac{y^2}{\sqrt{-k}^2}=a^2$

となる．