https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1936/Kougaku

2025.01.24記

[3] 幅 $a$ ナル矩形ノ板ヲ圖ノ如ク曲ゲ上ノ開イタ梯形ノ樋ヲ作ラントス．斷面ヲ最大ナラシムルニハ邊ノ長サ $(s)$ 及ビ角 $(\alpha)$ ヲ如何ニトルベキカ．

2025.01.29記

[解答]
断面積を $S$ とすると
$S=\dfrac{1}{2}\{(a-2s)+(a-2s+2s\cos\alpha)\}\cdot s\sin\alpha$
$=(a-2s+s\cos\alpha) s\sin\alpha$
$=-(\sin\alpha)(2-\cos\alpha) \cdot s \left(s - \dfrac{a}{2-\cos\alpha}\right)$
$\leqq (\sin\alpha)(2-\cos\alpha)\cdot\dfrac{a^2}{4(2-\cos\alpha)^2}$ （等号は $s=\dfrac{a}{2(2-\cos\alpha)}$ ）
$=\dfrac{a^2}{4}\cdot \dfrac{\sin\alpha}{2-\cos\alpha}$
が成立する．ここで $f(\alpha)=\dfrac{\sin\alpha}{2-\cos\alpha}$ とおくと，
$f'(\alpha)=\dfrac{\cos\alpha (2-\cos\alpha)-\sin^2\alpha}{(2-\cos\alpha)^2}$ $=\dfrac{2\cos\alpha -1}{(2-\cos\alpha)^2}$
であるから， $0\leqq \alpha\leqq\pi$ において $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ で極大かつ最大となる．

このとき， $s=\dfrac{a}{3}$ となるので， $S$ は $s=\dfrac{a}{3}$ ， $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ のとき最大となる．

最大値は $\dfrac{\sqrt{3}}{12}a^2$ (一辺 $a$ の正三角形の面積の $\dfrac{1}{3}$ )となる．

偏微分は当時だと普通の解法だが今は大人の解法

[大人の解答]
断面積を $S$ とすると $S=(a-2s+s\cos\alpha) s\sin\alpha$ である．
$\dfrac{\partial S}{\partial s}=(a-4s+2s\cos\alpha)\sin \alpha=0$ ，
$\dfrac{\partial S}{\partial\alpha}=-s^2\sin^2\alpha+(a-2s+s\cos\alpha) s\cos\alpha=0$
により（ $\alpha=0$ や $s=0$ だと $S=0$ となって不適だから）
$a-4s+2s\cos\alpha=0$ …①，
$-s\sin^2\alpha+(a-2s+s\cos\alpha)\cos\alpha=0$ …②
となり，①から $s=\dfrac{a}{2(2-\cos\alpha)}$ を得て②から
$-\dfrac{a}{2(2-\cos\alpha)}\sin^2\alpha+\dfrac{a}{2}\cos\alpha=0$ ，
つまり
$-\sin^2\alpha+(2-\cos\alpha)\cos\alpha=2\cos\alpha-1=0$
を得， $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ ， $s=\dfrac{a}{3}$ を得る．