https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1936/Igaku

2025.01.24記

[2] 次ノ平面曲線（直角座標）ガ漸近線ヲ有スルナラバ之ヲ求メヨ．
(1) $(x^2+y^2)^3=a^2y^4$
(2) $(x+a)(3y^2-x^2)=-4ax^2$
（式中 $a$ ハ有限ナル常數ナリ）

2025.01.30記

[解答]
(1) $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ とおくと
$r^6=a^2r^4\sin^4\theta$ ，つまり $r=|a|\sin^2\theta$ となる．ここで $|r|\leqq |a|$ となるのでこの図形は領域 $x^2+y^2\leqq a^2$ に含まれる有界な曲線であるから漸近線を持たない．

注）慣れれば
$x^2+y^2=\dfrac{a^2y^4}{(x^2+y^2)^2}\leqq\dfrac{a^2y^4}{y^4}=a^2$
によりこの曲線が領域 $x^2+y^2\leqq a^2$ に含まれることがわかる．

(2) $a=0$ のとき $x(\sqrt{3}y+x)(\sqrt{3}y-x)=0$ となり3直線を表すので漸近線はない．

以下 $a\neq 0$ とする． $3y^2=x^2-\dfrac{4ax^2}{x+a}=:f(x)$ とおくと
$a\gt 0$ なら $x\to -a-0$ で $f(x)\to +\infty$ ， $a\lt 0$ なら $x\to -a+0$ で $f(x)\to +\infty$
であるから漸近線 $x=-a$ を持つ．

もし $y=mx+n$ が漸近線であるとすると
$(x+a)(3(mx+n)^2-x^2)+4ax^2=0$
を整理した
$(3m^2-1)x^3+\{(3m^2+3)a+6mn\}x^2$ $+(6mna+3n^2)x$ $+3an^2$ $=0$ …①
における $x^3，x^2$ の係数が0となるので
$3m^2-1=(3m^2+3)a+6mn=0$
となる．よって
$(m，n)=\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}，\mp\dfrac{2a}{\sqrt{3}}\right)$
となるが，これらの値のとき，①は $4a^3=0$ となり，これは $a\neq 0$ より成立しないので $(x+a)(3(mx+n)^2-x^2)+4ax^2=0$ が直線 $y=mx+n$ を含むことはなく，確かに漸近線となっている．

よって $a\neq 0$ のとき，3本の漸近線 $x=-a$ ， $y=\pm \dfrac{x-2a}{\sqrt{3}}$ を持つ．