https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1935/Rigaku_1ji

2025.01.23記

[3] 双曲線ノ切線ハ其切點ヲ其二ツノ焦點ト結ブ二直線ノ爲ス角ヲ二等分スルコトヲ證セヨ．

2025.01.28記
焦点と双曲線上の点との距離の求め方は使えるようになった方が良い．

[解答]
双曲線を $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a，b\gt 0$ ）とすると焦点の座標は $c=\sqrt{a^2+b^2}$ として $\mbox{F}(c，0)$ ， $\mbox{F}’(-c，0)$ となる．

この双曲線は $x，y$ 軸に対して線対称であるから，双曲線上の点を $\mbox{P}(p，q)$ （ $p，q\gt 0$ ）としても一般性を失わず，このとき
$\mbox{PF}'-\mbox{PF}=2a$
となる．一方，成分計算により
$(\mbox{PF}')^2-\mbox{PF}^2$ $=\{(p+c)^2+q^2\}-\{(p-c)^2+q^2\}$ $=4pc$
であるから
$\mbox{PF}'+\mbox{PF}=\dfrac{4pc}{2a}=\dfrac{2pc}{a}$
となり，よって
$\mbox{PF}'=\dfrac{pc}{a}+a$ ， $\mbox{PF}=\dfrac{pc}{a}-a$
となる．

双曲線の点 $\rm P$ における接線 $\dfrac{px}{a^2}-\dfrac{qy}{b^2}=1$ と $x$ 軸の交点の座標は $\mbox{Q}\left(\dfrac{a^2}{p}，0\right)$ であるから
$\mbox{QF}':\mbox{QF}=\left(\dfrac{a^2}{p}+c\right):\left(c-\dfrac{a^2}{p}\right)$ $=\mbox{PF}':\mbox{PF}$
が成立し，三角形の角の二等分線の性質により
$\angle\mbox{QPF}'=\angle\mbox{QPF}$
が成立する．

よって双曲線の接線はその接点と2つの焦点を結ぶ直線のなす角を二等分する．

$\mbox{PF}=\dfrac{c}{a}\left(p-\dfrac{a^2}{c}\right)$ と変形し， $\rm P$ から直線 $x=\dfrac{a^2}{c}$ に下した垂線の足を $\rm H$ とすると， $\mbox{PF}=\dfrac{c}{a}\mbox{PH}$ ，つまり $\dfrac{\rm PF}{\rm PH}=\dfrac{c}{a}(=(一定))$ となる．

このことから，この双曲線の離心率は $\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}$ であり，準線の1つは $x=\dfrac{a^2}{c}=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ であることがわかる．