https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1935/Kougaku

2025.01.23記

[5] Cardioid $r=a(1+\cos\theta)$ ニ於テ，曲線内部ノ面積ヲソノ外周ノ曲線長ニテ割リタル比ヲ求ム．

2025.01.29記

[解答]
面積 $S$ は
$S=\dfrac{1}{2}\cdot 2\displaystyle\int_0^{\pi} r^2\, d\theta$ $=4a^2\displaystyle\int_0^{\pi} \cos^4\theta\, d\theta$ $=8a^2\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^4\theta\, d\theta$ $=8a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ $=\dfrac{3}{2}a^2\pi$
であり，周長 $l$ は
$l=2\displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}\, d\theta$ $=2a\displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta}\, d\theta$ $=2a\displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{2+2\cos^2\theta}\, d\theta$ $=4a\displaystyle\int_0^{\pi} \cos\dfrac{\theta}{2}\, d\theta$ $=8a$
であるから，求める比は $\dfrac{S}{l}=\dfrac{3}{16}a\pi$ となる．