https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1935/Kougaku

2025.01.23記

[4] 次式ノ獨立變數 $x$ ヲ $z$ ニ置換セヨ．但シ $x=e^z$ トス．
$x^3\dfrac{d^3y}{dx^3}+3x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+x\dfrac{dy}{dx}+y=0$

2025.01.29記

[解答]
$z=\log x$ であるから， $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{1}{x}$ である．よって
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dz}\cdot\dfrac{1}{x}$ ，
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d^2y}{dz^2}\cdot \dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{1}{x}-\dfrac{dy}{dz}\cdot\dfrac{1}{x^2}$ $＝\dfrac{d^2y}{dz^2}\cdot \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{dy}{dz}\cdot\dfrac{1}{x^2}$ ，
$\dfrac{d^3y}{dx^3}=\dfrac{d^3y}{dz^3}\cdot \dfrac{1}{x^3}$ $-2\dfrac{d^2y}{dz^2}\cdot\dfrac{1}{x^3}$ $-\dfrac{d^2y}{dz^2}\cdot\dfrac{1}{x^3}$ $+2\dfrac{dy}{dz}\cdot\dfrac{1}{x^3}$
$=\dfrac{d^3y}{dz^3}\cdot \dfrac{1}{x^3}$ $-3\dfrac{d^2y}{dz^2}\cdot\dfrac{1}{x^3}$ $+2\dfrac{dy}{dz}\cdot\dfrac{1}{x^3}$
となるので，
$x^2\dfrac{d^3y}{dx^3}+3x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+x\dfrac{dy}{dx}+y$
$=\dfrac{d^3y}{dz^3}$ $-3\dfrac{d^2y}{dz^2}$ $+2\dfrac{dy}{dz}$ $+3\dfrac{d^2y}{dz^2}-3\dfrac{dy}{dz}$ $+\dfrac{dy}{dz}+y$
$=\dfrac{d^3y}{dz^3}+y$
が成立し，もとの微分方程式は
$\dfrac{d^3y}{dz^3}+y=0$
と置換できる．

よって $z=\dfrac{y^4}{24}+ay^2+by+c$ となり，よって微分方程式の一般解は
$x=\exp\left(\dfrac{y^4}{24}+ay^2+by+c\right)$
となる．