https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1935/Kougaku

2025.01.23記

[3] 圓弧 $\rm ABC$ ノ長サガ與ヘラレタ場合弓形 $\rm ABC$ ノ面積ヲ最大ナラシムルニハ中心角 $\alpha$ ヲ如何ニトルベキカ．

2025.01.29記

[解答]
円の半径を $r$ とすると，円弧 $\rm ABC$ の長さは $l$ は $l=r\alpha$ であり，弓形の面積は $\dfrac{1}{2}r^2(\alpha-\sin\alpha)=\dfrac{l^2}{2}\cdot\dfrac{\alpha-\sin\alpha}{\alpha^2}$
（ $0\lt\alpha\leqq 2\pi$ ）
となる．よって $f(\alpha)=\dfrac{\alpha-\sin\alpha}{\alpha^2}$ を最大にする $\alpha$ を求めれば良い．

$f'(\alpha)=\dfrac{(1-\cos\alpha)\alpha-2(\alpha-\sin\alpha)}{\alpha^3}$ $=\dfrac{-\alpha-\alpha\cos\alpha+2\sin\alpha}{\alpha^3}$ $=\dfrac{-\alpha\cdot 2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}+4\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}}{\alpha^3}$ $=\dfrac{4}{\alpha^2}\cos^2\dfrac{\alpha}{2}\left(\tan\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\alpha}{2}\right)$
となるが， $0\lt\dfrac{\alpha}{2}\lt\pi$ において $\tan\dfrac{\alpha}{2}\neq\dfrac{\alpha}{2}$ であるから， $f'(\alpha)=0$ となるのは $\cos\dfrac{\alpha}{2}=0$ となること，つまり $\alpha=\pi$ となることが必要で，このとき確かに
$f'(\pi)=\dfrac{-\pi-\pi\cos\pi+2\sin\pi}{\pi^3}=0$
となっている．

注）少しまわりくどいのは
$f'(\alpha)=\dfrac{4}{\alpha^2}\cos^2\dfrac{\alpha}{2}\left(\tan\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\alpha}{2}\right)$
に $\alpha=\pi$ を代入しようとしても $\tan\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\alpha}{2}$ には代入できない（左方極限は $+\infty$ ，右方極限は $=-\infty$ となるので）から， $\cos\dfrac{\alpha}{2}=0$ だからと言って $f'(\alpha)=0$ とは即答できないからである．そこで
$f'(\alpha)=\dfrac{-\alpha-\alpha\cos\alpha+2\sin\alpha}{\alpha^3}$
に代入して確認している訳である．

$\alpha=\pi$ の前後で $f'(\alpha)$ は符号を正から負に変える（ $\tan\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\alpha}{2}$ の符号を考えれば良い）ので， $f(\alpha)$ は $\alpha=\pi$ で極大かつ最大となる．

よって中心角を $\pi$ とすれば良く，このとき弓形は半円となる．