https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1935/Kougaku

2025.01.23記

[2] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\log_e(x-1)-\tan\dfrac{\pi}{2}x}{\cot \pi x}$ ヲ求ム．

2025.01.29記
$\log_e(x-1)$ の極限を考えるので， $x\to 1$ は $x\to 1+0$ であると考える．つまり
$\displaystyle\lim_{x\to 1+0}\dfrac{\log_e(x-1)-\tan\dfrac{\pi}{2}x}{\cot \pi x}$
を求める．ここで
$\displaystyle\lim_{x\to +0}(x\log x)=0$ ， $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}(\theta\cot\theta)=1$ ，
を利用する．

[解答]
$x=1+u$ （ $u\gt 0$ ）とおくと，
$\tan\dfrac{\pi}{2}x=-\cot\dfrac{\pi}{2}u$ ， $\cot \pi x=\cot \pi u$
であるから，求める極限は
$\displaystyle\lim_{u\to +0}\dfrac{\log_e(u)+\cot\dfrac{\pi}{2}u}{\cot \pi u}$
となる．さらに $\dfrac{\pi}{2}u=t$ とおくと，求める極限は
$\displaystyle\lim_{t\to +0}\dfrac{\log_e(t)+\cot t+\log_e\dfrac{\pi}{2}}{\cot 2t}$ $=\displaystyle\lim_{t\to +0}\dfrac{t\log_e(t)+t\cot t+t\log_e\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{1}{2}\cdot 2t\cot 2t}$ $=\dfrac{0+1+0}{\dfrac{1}{2}\cdot 1}$ $=2$
となる．