https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1935/Iigaku

2025.01.23記

[3] 積分ヲ用ヰテ，平面曲線上ノ與ヘラレタル二點間ノ該曲線ノ長サヲ求ムル公式及ビ其導キ方ヲ，次ノ各ノ場合ニ就イテ記セ．
(a) 直角座標の場合．
(b) 極座標の場合．
(c) 曲線ガ $x=f(t)$ ， $y=g(t)$ ナル形ニテ與ヘラレタル場合．

2025.01.29記

[解答]
(a) $y=f(x)$ の $x=a$ から $x=b$ （ $a\lt b$ ）までの曲線の長さ $s$ について，三平方の定理から
$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ $=\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ $=\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$
となるので，
$s=\displaystyle\int_a^b \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$
となる．

(c) $x=f(t)$ ， $y=g(t)$ の $t=a$ から $t=b$ （ $a\lt b$ ）までの曲線の長さ $s$ について，三平方の定理から
$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ $=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$ $=\sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}\, dt$
となるので，
$s=\displaystyle\int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}\, dt$
となる．

(c) $r=f(\theta)$ の $\theta=\alpha$ から $\theta=\beta$ （ $\alpha\lt\beta$ ）までの曲線の長さ $s$ について，三平方の定理から
$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ $=\sqrt{\left(\dfrac{d(r\cos\theta)}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{d(r\sin\theta)}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$ $=\sqrt{\left(\dfrac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\right)^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\right)^2}\, d\theta$ $=\sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$ $=\sqrt{r^2+\{f'(\theta)\}^2}\,d\theta$
となるので，
$s=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+\{f'(\theta)\}^2}\,d\theta$
となる．