1935年(昭和10年)京都帝國大學醫學部-數學[2]

2025.01.23記

[2] 直交軸ニ關スル平面曲線 $y=\log x$ ノ上ニ於テ曲率ノ最大ナル點ヲ求メヨ．（但シ $\log$ ハ自然對數ヲ示ス）

2025.01.29記

[解答]
$y'=\dfrac{1}{x}$ ， $y''=-\dfrac{1}{x^2}$ であるから曲率は $\left|\dfrac{y''}{\{1+(y')^2\}^{3/2}}\right|=\dfrac{x}{(1+x^2)^{3/2}}:=f(x)$ （∵ $x\gt 0$ ）となる．

$f'(x)=\dfrac{1-2x^2}{(1+x^2)^{5/2}}$ であり，これは $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の前後で符号を正から負に変えるので， $f(x)$ は $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極大かつ最大となるので求める答は $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}，-\dfrac{1}{2}\log 2\right)$ となる．

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