https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1934/Rigaku

2025.01.23記

[4] $(bc'-cb')^2+(ca'-ac')^2+(ab'-ba')^2$ ヲ一ツノ行列式ニテ表ハセ．

本問のテーマ

Cauchy–Binet の公式

2025.02.01記
問題としては良くなく，1次正方行列の行列式として
$\mbox{det}\Bigl((bc'-cb')^2+(ca'-ac')^2+(ab'-ba')^2\Bigr)$
と表しても間違いではないし，2次正方行列の行列式として
$\mbox{det} \begin{pmatrix} (bc'-cb')^2+(ca'-ac')^2 & ab'-ba' \\ a'b-b'a & 1\end{pmatrix}$ と表しても間違いではない．

$\mathbf{a}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ と $\mathbf{a}'=\begin{pmatrix} a' \\ b' \\ c' \end{pmatrix}$ とおくと
$(bc'-cb')^2+(ca'-ac')^2+(ab'-ba')^2=||\mathbf{a}\times \mathbf{a}'||^2$
である．

$\mathbf{a}$ と $\mathbf{a}'$ とで張られる平行四辺形の面積は $||\mathbf{a}\times \mathbf{a}'||$ であり， $\mathbf{a}\times \mathbf{a}'$ はこの平行四辺形に垂直であるから， $\mathbf{a}$ と $\mathbf{a}'$ と $\mathbf{a}\times \mathbf{a}'$ とで張られる平行六面体の体積は $||\mathbf{a}\times \mathbf{a}'||^2$ となる．よって
$||\mathbf{a}\times \mathbf{a}'||^2$ $=\mbox{det} \begin{pmatrix} \mathbf{a} & \mathbf{a}' & \mathbf{a}\times\mathbf{a}' \end{pmatrix}$
となる．

ことを利用すると

[解答]
$(bc'-cb')^2+(ca'-ac')^2+(ab'-ba')^2$ $=\mbox{det} \begin{pmatrix} a & a' & bc'-b'c \\ b & b' & ca'-c'a \\ c & c' & ab'-a'b \end{pmatrix}$
となる．

2025.02.02記
Cauchy–Binet の公式
コーシー・ビネの公式 - Wikipedia

から

$||\mathbf{a}\times \mathbf{a}'||^2$ $=\mbox{det} \left\{\begin{pmatrix} \mathbf{a}^{\top} \\ (\mathbf{a}')^{\top} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{a} & \mathbf{a}' \end{pmatrix}\right\}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} \mathbf{a}^{\top}\mathbf{a} & \mathbf{a}^{\top}\mathbf{b} \\ \mathbf{b}^{\top}\mathbf{a} & \mathbf{b}^{\top}\mathbf{b} \end{pmatrix}$

となるので，次の表現がおそらく想定解．

[想定解]
$(bc'-cb')^2+(ca'-ac')^2+(ab'-ba')^2$ $=\mbox{det}\left\{ \begin{pmatrix}a & b & c \\ a' & b' & c' \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & a' \\ b & b' \\ c & c' \end{pmatrix}\right\}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix}a^2+b^2+c^2 & aa'+bb'+cc' \\ aa'+bb'+cc' & (a')^2+(b')^2+(c')^2\end{pmatrix}$
である．

これは Lagrange の恒等式
 Lagrange's identity - Wikipedia

に相当する．