https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1934/Rigaku_1ji

2025.01.23記

[3] 一定點ヲ通ル圓ノ，ソノ點ヲ過ラザル一定直線ト交ル點ニ於ケル一切線ガソノ定直線ト一定角ヲナストキ圓ノ中心ノ軌跡ヲ求メヨ。（平面幾何）

2025.01.30記

[解答]
定点を $\mbox{P}(p，0)$ （ $p\gt 0$ ）とし，定直線を $y$ 軸とする． $\rm P$ を通る円の中心 $\mbox{C}(x，y)$ ，この円と $l$ の交点を $\mbox{Q}(0，q)$ とする．

$\rm Q$ における接線と $y$ 軸とのなす角度が鋭角 $\theta$ で一定であるとき， $\overrightarrow{\rm QC}$ と $y$ 軸のなす角は $\dfrac{\pi}{2}\pm \theta$ となるので
$\dfrac{(y-q)^2}{x^2+(y-q)^2}=\sin^2\theta$
は一定となる．一方，円の中心は $\rm P，Q$ から等距離にあるので
$(x-p)^2+y^2=x^2+(y-q)^2$
が成立するので，
$\dfrac{(x-p)^2+y^2-x^2}{(x-p)^2+y^2}=\sin^2\theta$ ，
つまり
$(\sin^2\theta)x^2+2p(\cos^2\theta)x-(\cos^2\theta) y^2=p^2\cos^2\theta$ ，
が成立する．

(i) $\theta=0$ ，つまり接線が定直線に平行となるとき
放物線 $x=\dfrac{y^2+p^2}{2p}$ となる．

(ii) $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ ，つまり接線が定直線に垂直となるとき
$x^2=0$ から $y$ 軸（直線）となる．

(iii) $0\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ のとき
双曲線 $\left(x+\dfrac{p}{\tan^2\theta}\right)^2-\dfrac{y^2}{\tan^2\theta}=\dfrac{p^2}{\tan^2\theta\sin^2\theta}$ となる．