https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1934/Rigaku_1ji

2025.01.23記

[1] 平行四邊形 $\rm ABCD$ ニ於テ對角線ノ長サノ比 $\rm AC:BD$ ヲ $k$ ，兩對角線ノナス一角ヲ $\theta$ トスルトキ
$2k\sin\theta=(k^2-1)\tan A$
ナルコトヲ證明セヨ．（矩形ヲ除ク， $A$ ハ頂點 $\rm A$ ニ於ケル内角ノ意）

2025.01.30記

[解答]
$\mbox{AC}=k\mbox{BD}$ …①である．

平行四辺形の面積 $S$ は $S=\mbox{AB}\cdot\mbox{AD}\sin A$ …② であり，余弦定理から
$\mbox{BD}^2=\mbox{AD}^2+\mbox{AB}^2-2\mbox{AD}\cdot\mbox{AB}\cos A$ …③，
$\mbox{AC}^2=\mbox{AD}^2+\mbox{CD}^2+2\mbox{AD}\cdot\mbox{CD}\cos A$ …④
であるから，④ $-$ ③で $\mbox{AB}=\mbox{CD}$ に注意すると
$\mbox{AC}^2-\mbox{BD}^2=4\mbox{AD}\cdot\mbox{AB}\cos A$
となるので，②から $S=4(\mbox{AC}^2-\mbox{BD}^2)\tan A$ となり，①から
$S=\dfrac{k^2-1}{4}\mbox{BD}^2\tan A$ …⑤
となる．一方
$S=\dfrac{1}{2}\mbox{AC}\cdot\mbox{BD}\sin\theta$ $=\dfrac{k}{2}\mbox{BD}^2\sin\theta$
でもあるから，⑤より
$\dfrac{k}{2}\mbox{BD}^2\sin\theta=\dfrac{k^2-1}{4}\mbox{BD}^2\tan A$ ，
つまり
$2k\sin\theta=(k^2-1)\tan A$ ，
となる．