https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1934/Rigaku

2025.01.23記

[1] 直交スル二直線 $\rm OX$ ， $\rm OY$ 上ニ夫々其兩端 $\rm A，B$ ガ動ク定長ノ線分 $\rm AB$ ヲ $\mbox{AP}:\mbox{BP}=l:m$ ニナル如ク外分スル點 $\rm P$ ノ軌跡ヲ求メヨ．但 $l:m=一定$ ．

2025.02.01記

[解答]
$l\neq m$ とする．

$\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{B}(0，b)$ ， $\mbox{AB}=L$ とすると， $a^2+b^2=L^2$ である．
$\mbox{P}(x，y)=\left(\dfrac{ma}{m-l}，\dfrac{-lb}{m-l}\right)$
であるから，点 $\rm P$ の軌跡は
楕円 $\dfrac{x^2}{\left(\dfrac{mL}{|m-l|}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{lL}{|m-l|}\right)^2}=1$
となる．

[別解]
$l\neq m$ とする．
$\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{B}(0，b)$ ， $\mbox{AB}=L$ とすると， $a^2+b^2=L^2$ であるから $a=L\cos\theta$ ， $b=L\sin\theta$ （ $0\leqq\theta\lt 2\pi$ ）とおけるので点 $\mbox{P}=\left(\dfrac{mL}{m-l}\cos\theta，-\dfrac{lL}{m-l}\sin\theta\right)$ の軌跡は
楕円 $\dfrac{x^2}{\left(\dfrac{mL}{|m-l|}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{lL}{|m-l|}\right)^2}=1$
の全体を表す．