https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1934/Kougaku

2025.01.23記

[3](イ) 次ノ積分ヲ求メヨ． $\displaystyle\int\sqrt{(a^2-x^2)^3}\, dx$

(ロ) $x=a(\varphi-\sin\varphi)$ ， $y=a(1-\cos\varphi)$ ，但シ $a$ ハ常數ナル時
$\dfrac{\left[1+\left[\dfrac{dy}{dx}\right]^2\right]^{3/2}}{\dfrac{d^2y}{dx^2}}=-2\sqrt{2ay}$ ナルコトヲ示セ．

2025.02.02記

[解答]
(イ) $x=a\sin\theta$ とおくと $dx=a\cos\theta\,d\theta$ だから
$I=\displaystyle\int\sqrt{(a^2-x^2)^3}\, dx$ $=a^4\displaystyle\int \cos^4\theta\, d\theta$ $=a^4\displaystyle\int \left(\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2\, d\theta$ $=a^4\displaystyle\int \left(\dfrac{3}{8}+\dfrac{\cos2\theta}{2}+\dfrac{\cos4\theta}{8}\right)\, d\theta$ $=a^4\left(\dfrac{3\theta}{8}+\dfrac{\sin2\theta}{4}+\dfrac{\sin4\theta}{32}\right)+(積分定数)$
となる．ここで $a\cos\theta=\sqrt{a^2-x^2}$ ， $a^2\cos2\theta=a^2-2x^2$ であるから，
$I=\dfrac{3a^4}{8}\mbox{Arcsin}\,\dfrac{x}{a}+\dfrac{a^2x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\dfrac{x(a^2-2x^2)\sqrt{a^2-x^2}}{8}+(積分定数)$
$=\dfrac{3a^4}{8}\mbox{Arcsin}\,\dfrac{x}{a}+\dfrac{x(5a^2-2x^2)\sqrt{a^2-x^2}}{8}+(積分定数)$
となる．

(ロ) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{d\varphi}}{\dfrac{dx}{d\varphi}}=\dfrac{\sin\varphi}{1-\cos\varphi}$ ，
$\dfrac{d^y}{dx^2}=\dfrac{\dfrac{d}{d\varphi}\left(\dfrac{\sin\varphi}{1-\cos\varphi}\right)}{\dfrac{dx}{d\varphi}}$ $=\dfrac{\dfrac{\cos\varphi-1}{(1-\cos\varphi)^2}}{a(1-\cos\varphi)}$ $=-\dfrac{1}{a(1-\cos\varphi)^2}$
であるから，
$\dfrac{\left[1+\left[\dfrac{dy}{dx}\right]^2\right]^{3/2}}{\dfrac{d^2y}{dx^2}}$ $=\dfrac{\left[1+\left(\dfrac{\sin\varphi}{1-\cos\varphi}\right)^2\right]^{3/2}}{-\dfrac{1}{a(1-\cos\varphi)^2}}$ $=\dfrac{\left[(1-\cos\varphi)^2+\sin^2\varphi\right]^{3/2}}{-\dfrac{1}{a}(1-\cos\varphi)}$ $=\dfrac{\left[2-2\cos\varphi\right]^{3/2}}{-\dfrac{1}{a}(1-\cos\varphi)}$ $=-2\sqrt{2} a\sqrt{1-\cos\varphi}$ $=-2\sqrt{2ay}$
となる．

[別解]
(イ) 部分積分より
$I=\displaystyle\int\sqrt{(a^2-x^2)^3}\, dx$
$=x\sqrt{(a^2-x^2)^3}-\displaystyle\int x\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \sqrt{a^2-x^2}\cdot (-2x)\, dx$
$=x\sqrt{(a^2-x^2)^3}+3\displaystyle\int x^2\sqrt{a^2-x^2}\, dx$
$=x\sqrt{(a^2-x^2)^3}+3a^2\displaystyle\int \sqrt{a^2-x^2}\, dx-3I$
となるので，
$I=\dfrac{1}{4}x(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{3}{4}a^2\displaystyle\int \sqrt{a^2-x^2}\, dx$
$=\dfrac{1}{4}x(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{3}{8}a^2 \left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\mbox{Arcsin}\dfrac{x}{a}\right)+(積分定数)$
となる．