https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1934/Kougaku

2025.01.23記

[1](イ) 次ノ極限値ヲ求メヨ． $\displaystyle\mathop{\mbox{Lim}}_{x=1} x^{\tan\frac{\pi}{2}x}$

(ロ)（力學）質量10kgノ圓板ガ 2m/sec ノ速度ヲ以テ平面上ニ一直線ニ沿フテ轉ル時ソノ圓板ノ有スル運動ノエネルギーヲ求メヨ．但シ圓板ト平面トノ間ハ絶對ニ辷ル事ナキモノトス．

2025.02.02記

[解答]
(イ) $t=\dfrac{\pi}{2}(1-x)$ とおくと
$\displaystyle\mathop{\mbox{lim}}_{x\to 1-0} \log \left(x^{\tan\frac{\pi}{2}x}\right)$ $=\displaystyle\mathop{\mbox{lim}}_{t\to +0} \dfrac{\log \left(1-\dfrac{2}{\pi}t\right)}{t}\cdot\dfrac{t}{\tan t}$ $=-\dfrac{2}{\pi}\cdot 1$ $=-\dfrac{2}{\pi}$
であるから，
$\displaystyle\mathop{\mbox{lim}}_{x\to 1-0} x^{\tan\frac{\pi}{2}x}=e^{-\frac{2}{\pi}}$
となる．

(ロ)　円板の材質は一様であるとし，半径を $a$ とする．また $M=10[\mbox{kg}]$ ， $v=2[\mbox{m}/\mbox{sec}]$ とし，円板の角速度を $\omega=\dfrac{v}{a}$ とする．

このとき円板の並進の運動エネルギーは $\dfrac{1}{2}Mv^2$ である．

また，円板の慣性モーメントは $I=\dfrac{Ma^2}{2}$ であるから，その回転の運動エネルギーは $\dfrac{1}{2} I \omega^2$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{Ma^2}{2}\cdot\left(\dfrac{v}{a}\right)^2$ $=\dfrac{1}{4}Mv^2$ となる．

よって円板の有する運動エネルギーは $\dfrac{3}{4}Mv^2=\dfrac{3}{4}\cdot 10\cdot 2^2$ $=30[\mbox{kg}\cdot\mbox{m}^2/\mbox{sec}^2]$ $=30[\mbox{J}]$ となる．

「一様な円板や円筒がすべらずにころがるときには並進運動と回転運動の運動エネルギーの比は2:1である」ことがわかる．