https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1934/Igaku

2025.01.23記

[3] 直角座標ニ於ケル平面曲線 $x^2(y-b)=(a-b)^2(a-y)$ ニ就イテ＜
(イ) 此曲線ヲ追跡セヨ．
(ロ) 此曲線ト， $x$ 軸ニ平行ナル直線ニヨリテ限ラレタル面積ガ最大ノ有限値ヲ求メヨ．但シ $a，b$ ハ相異ナル生ノ常數トス．

2025.02.02記

[解答]
(イ) $y=b+ \dfrac{(a-b)^3}{x^2+(a-b)^2}$ であるから
(i) $a\gt b$ のとき

$x$	$-\infty$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$+\infty$
$y$	$b$	$\nearrow$	$a$	$\searrow$	$b$

(ii) $a=b$ のとき直線 $y=a$

(i) $a\lt b$ のとき

$x$	$-\infty$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$+\infty$
$y$	$b$	$\searrow$	$a$	$\nearrow$	$b$

となる（図示略）．

(ロ) $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x^2+1}\, dx=\pi$ と有限になることに注意すると， $x$ 軸に平行な直線が漸近線 $y=b$ のときに囲まれる面積が最大となる．その面積は
$S=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{|a-b|^3}{x^2+|a-b|^2}\, dx$
となり， $x=|b-a|t$ と置換すると
$S=|b-a|^2 \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{t^2+1}\, dt$ $=(a-b)^2\pi$
となる．