https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1934/Igaku

2025.01.23記

[2] 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ，雙曲線 $\dfrac{x^2}{c^2}-\dfrac{y^2}{d^2}=1$ トニ於テ，
(イ) 兩者ガ兩焦點ヲ共有スル條件ヲ求ム．
(ロ) 兩者ガ兩焦點ヲ共有スル時上記兩曲線ガ直交スルコトヲ證明セヨ．

2025.02.02記

[解答]
$a，b，c，d\gt 0$ とする．

(イ) 双曲線の焦点は $(\pm\sqrt{c^2+d^2}，0)$ である．楕円の焦点が $x$ 軸上にあるためには $a^2-b^2\gt 0$ が必要であり，そのとき楕円の焦点は $(\pm\sqrt{a^2-b^2}，0)$ であるから，求める条件は
$a^2-b^2=c^2+d^2$
$a^2\gt b^2$ はこの条件で満たされる）となる．

(ロ) 交点を $(p，q)$ とすれば
$\dfrac{p^2}{a^2}+\dfrac{q^2}{b^2}=\dfrac{p^2}{c^2}-\dfrac{q^2}{d^2}$
が成立し， $a^2-b^2=c^2+d^2$ 　から
$\dfrac{p^2}{a^2c^2}=\dfrac{q^2}{b^2d^2}$
が成立する．

交点における接線はそれぞれ
$\dfrac{px}{a^2}+\dfrac{qy}{b^2}=1$ ， $\dfrac{px}{c^2}-\dfrac{qy}{d^2}=1$
であるから，接線の法線ベクトルの内積は
$\dfrac{p^2}{a^2c^2}-\dfrac{q^2}{b^2d^2}=0$
となるので，交点における接線は直交する．

よって交点において楕円と双曲線は直交する．