https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1934/Igaku

2025.01.23記

[1] 方程式 $x^3+2x-17=0$ ノ實根ノ近似値ヲ求メヨ．但シ誤差ヲ $\dfrac{1}{100}$ 以内ニ止ム可シ．

2025.02.02記
ニュートン法は次第に複雑な分数となるので途中からホーナー法に切り替える．

[解答]
$f(x)=x^3+2x-17$ とおくと $f'(x)=3x^2+2\gt 0$ から $f(x)$ は全実数で単調増加であるから， $f(x)=0$ の実数解は唯一であり，それを $\alpha$ とおくと

$f(2)=-5$ ， $f(3)=16$ より $2\lt \alpha\lt 3$ であり， $f(2.5)=\dfrac{125}{8}-12\gt 0$ から $2\lt \alpha\lt 2.5$ であるから， $\alpha=2.5-\varepsilon$ とおくと
$0=f(2.5+\varepsilon)=\dfrac{(5-2\varepsilon)^3}{8}-2\varepsilon-12≒\dfrac{125-150\varepsilon}{8}-2\varepsilon-12$
から
$\varepsilon≒\dfrac{29}{166}≒0.175$
となるので
$\alpha≒2.325$ となる．

注）複雑な方程式を接線を利用して1次方程式に近似するのがニュートン法なので，誤差を一次近似して求めることはニュートン法と等価である．

また， $f(x)$ は $x\gt 0$ で下に凸であるから，ニュートン法で求めた近似値は実際の解より大きくなるので
$\alpha\lt 2.5-\dfrac{29}{166}=2.325…\lt 2.326$
となる．

$f(2.32)=0.126168\gt 0$ より $\alpha\lt 2.32$ である．
$f(2.31)=-0.053609\lt 0$ より $\alpha\gt 2.31$ である．

よって $2.31\lt \alpha\lt 2.32$ となるので誤差を $\alpha=2.31$ と近似すれば誤差は $\dfrac{1}{100}$ にとどまる．

もちろん $\alpha=2.32$ としても誤差は $\dfrac{1}{100}$ にとどまるし， $\alpha=2.315$ とすれば誤差は $\dfrac{1}{200}$ にとどまる．

[解答] では $\alpha=2.31…$ と $\alpha$ を小数第一位まで求めたことになるが，誤差を $\dfrac{1}{100}$ 以内にとどめるという要求をみたすだけなら， $\dfrac{1}{50}=0.02$ 刻みで $f$ の値を求めれば良いので，　

　 $f(2.32)=0.126168\gt 0$ ， $f(2.3)=-0.233\lt 0$ より $2.3\lt \alpha\lt 2.32$ であるから， $\alpha=2.31$ と近似すれば誤差は $\dfrac{1}{100}$ にとどまる．

としても良い．

[別解]
$f(x)=x^3+2x-17$ とおくと $f'(x)=3x^2+2\gt 0$ ， $f''(x)=6x$ であるから $f(x)$ は全実数で単調増加であり， $x\gt 0$ で下に凸である． $f(x)=0$ の実数解は唯一であり，それを $\alpha$ とおくと

$f(2)=-5$ ， $f(3)=16$ より $2\lt \alpha\lt 3$ であり， $f(2.5)=\dfrac{29}{8}\gt 0$ から $2\lt \alpha\lt 2.5$ である． $f(x)$ は $2\lt x\lt 2.5$ で下に凸だから，
よって $(2，-5)$ と $(2.5，29/8)$ を $40:29$ に内分する点 $\left(\dfrac{158}{69}，0\right)$ よりも $y=f(x)$ は下にあるので $f\left(\dfrac{158}{69}\right)\lt 0$ となり，
$\alpha\gt \dfrac{158}{69}\gt 2.28$
となる．ここで
$f(2.3)=-0.233\lt 0$ より $2.3\lt \alpha\lt 2.32$ であるから， $\alpha=2.31$ と近似すれば誤差は $\dfrac{1}{100}$ にとどまる．

$\alpha$ は $2.3$ 近辺にあるので
$f(x)=f(2.3)+f'(2.3)(x-2.3)+\dfrac{f''(2.3)}{2}(x-2.3)^2+(x-2.3)^3$ （最後の項は最高次の係数を見ればわかる）
$=-0.233+17.87(x-2.3)+6.9(x-2.3)^2+(x-2.3)^3$
と展開すると
$f(2.32)=-0.233+17.87\cdot 0.02+6.9\cot 0.0004+0.000008$
$\gt -0.233+17.87\cdot 0.02=-0.233+0.3574\gt 0$
であることがわかる．

$\alpha$ は $2.3$ 近辺にあるので
$f(x)=f(2.3)+f'(2.3)(x-2.3)+\dfrac{f''(2.3)}{2}(x-2.3)^2+(x-2.3)^3$ （最後の項は最高次の係数を見ればわかる）
$=-0.233+17.87(x-2.3)+6.9(x-2.3)^2+(x-2.3)^3$
と展開すると $\delta\gt 0$ に対して
$f(2.3+\delta)\gt -0.233+17.87\delta$
が言えるので， $\delta=\dfrac{0.233}{17.87}=0.01303…\gt 0.01304$ とすれば
$f(2.3+\delta)≒0$ かつ $f(2.3+\delta)\gt 0$
となるので， $\alpha=2.31304$ より少し小さいことがわかる．

なお， $\alpha≒2.3129735011448$ となる．