https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1933/Rigaku

2025.01.23記

[4] $-\dfrac{\pi}{2}\leqq \arcsin x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ ナルトキ，曲線 $y=x(\arcsin x-\alpha)$ トソノ兩端ヲ結ブ線分トデ圍レタ圖形ノ面積ヲ求メヨ．（ $\alpha$ ハ定數， $\arcsin$ ハ $\sin^{-1}$ トモ書ク）

2025.02.03記

[解答]
$f(x)=x(\mbox{Arcsin}\, x-\alpha)$ とおくと
$f''(x)=\dfrac{2-x^2}{(1-x^2)^{3/2}}\gt 0$ （ $-1\lt x\lt 1$ ）
だから $y=f(x)$ は下に凸である．

$y=x(\mbox{Arcsin}\, x-\alpha)$ （ $-1\leqq x\leqq 1$ ）の両端は $\left(-1，\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$ ， $\left(1，\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)$ であるから，両端を結ぶ直線の方程式は $y=\dfrac{\pi}{2}-\alpha x$ である．

よって求める面積は
$\displaystyle\int_{-1}^1 \left(\dfrac{\pi}{2}-x\mbox{Arcsin}\,x\right)\, dx$ $=\pi-\Bigl[ \dfrac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}+(2x^2-1)\mbox{Arcsin}\, x\Bigr]_{-1}^1$ $=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3}{4}\pi$
となる．