https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1933/Rigaku

2025.01.23記

[3] 坐標ノ原點 $\rm O$ ヲ中心トスル円ガ $y$ -軸及曲線 $y^2=mx$ ト交ル點ヲ夫々 $\mbox{P}(p，0)$ ，及 $\mbox{M}(x'，y')$ トシ，直線 $\rm PM$ ト $y$ -軸トノ交點ヲ $\mbox{Q}(q，0)$ トスル，圓の半徑ガ $\rm O$ ニ近迫スルトキ點 $\rm Q$ ノ最後ノ位置ヲ求メヨ．

2025.02.03記

[解答]
$p\gt 0$ として良く，このとき円の半径は $p$ であり $\mbox{M}(p\cos\theta，p\sin\theta)$ とおけ，放物線上にあることから $p^2\sin^2\theta=mp\cos\theta$ となるので $p=\dfrac{m\cos\theta}{\sin^2\theta}$ となる．

直線 $\rm PQ$ は $\dfrac{x}{q}+\dfrac{y}{p}=1$ であるから，これが $\rm M$ を通るので
$\dfrac{p\cos\theta}{q}+\dfrac{p\sin\theta}{p}=1$
が成立し，よって
$q=\dfrac{p\cos\theta}{1-\sin\theta}$ $=\dfrac{m\cos\theta}{\sin^2\theta}\cdot\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$ $=\dfrac{m(1+\sin\theta)}{\sin^2\theta}$
が成立する．

$\rm M$ が第1象限にあるとき $p\to 0$ で $\theta\to\dfrac{\pi}{2}$ であるから $q\to 2m$ ，
$\rm M$ が第4象限にあるとき $p\to 0$ で $\theta\to-\dfrac{\pi}{2}$ であるから $q\to 0$
となる．