https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1933/Rigaku

2025.01.23記

[2] $f(x)=ax^2+2bx+c$ ，（ $a\gt 0$ ）ニシテ $\{f(x)\}^2-1=0$ ノ根ガ皆實ナルトキ，其等ヲ大イサノ順ニ排列セヨ，又四根が等差数列ヲナストキ， $f(x)$ ノ形ヲ決定セヨ．

2025.02.03記
「大いさ」は「大きさ」の古語である．

[解答]
$\{f(x)\}^2-1=0$ より， $ax^2+2bx+c=-1，1$ となるので， $y=ax^2+2bx+c$ と $y=-1，1$ の交点を考えれば $ax^2+2bx+c-1=0$ の小さい解， $ax^2+2bx+c+1=0$ の小さい解， $ax^2+2bx+c+1=0$ の大きい解， $ax^2+2bx+c-1=0$ の大きい解，の順番，つまり
$\dfrac{-b-\sqrt{b^2-a(c-1)}}{a}$ ， $\dfrac{-b-\sqrt{b^2-a(c+1)}}{a}$ ， $\dfrac{-b+\sqrt{b^2-a(c+1)}}{a}$ ， $\dfrac{-b+\sqrt{b^2-a(c-1)}}{a}$
の順番に並ぶ．

4解が等差数列となるとき，
$\sqrt{b^2-a(c-1)}=3\sqrt{b^2-a(c+1)}$
が成立するので，
$b^2-a(c-1)=9b^2-9a(c+1)$ ，
つまり $8b^2-8ac-10a=0$ となるので $c=\dfrac{b^2}{a}-\dfrac{5}{4}$ となる．

よって $f(x)=ax^2+2bx+\dfrac{b^2}{a}-\dfrac{5}{4}$ となる．

相異4実解をもつ条件は $b^2-a(c+1)\gt 0$ である．