https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1933/Rigaku

2025.01.23記

[1] $A+B+C=\dfrac{\pi}{2}$ ， $x=\left| \begin{matrix} 1 & \tan A & \cos^2 A \\ 1 & \tan B & \cos^2 B \\ 1 & \tan C & \cos^2 C \end{matrix} \right|$ ナルトキ $\cos x$ ヲ求メヨ．

2025.02.03記

[解答]
一般に $=\cos^2\alpha-\cos^2\beta=\sin^2\beta-\sin^2\alpha=\sin(\beta+\alpha)\sin(\beta-\alpha)$ ，
$\sin(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{1}{2}(\sin 2\alpha-\sin2\beta)$ が成立するので，
$x=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & \tan A & \cos^2 A \\ 1 & \tan B & \cos^2 B \\ 1 & \tan C & \cos^2 C \end{pmatrix}$
$=\tan A\sin(C+B)\sin(C-B)+\tan B\sin(A+C)\sin(A-C)+\tan C\sin(B+A)\sin(B-A)$
$=\tan A\cos A\sin(C-B)+\tan B\cos B\sin(A-C)+\tan C\cos C \sin(B-A)$
$=\sin A\sin(C-B)+\sin B\sin(A-C)+\sin C \sin(B-A)$
$=\cos(C+B)\sin(C-B)+\cos(A+C)\sin(A-C)+\cos(B+A)\sin(B-A)$
$=\dfrac{1}{2}(\sin 2C-\sin2B)+\dfrac{1}{2}(\sin 2A-\sin2C)+\dfrac{1}{2}(\sin 2B-\sin2A)=0$
であるから， $\cos x=1$ となる．

[解答]
一般に $=\cos^2\alpha-\cos^2\beta=\sin^2\beta-\sin^2\alpha=\sin(\beta+\alpha)\sin(\beta-\alpha)$ が成立するので，
$x=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & \tan A & \cos^2 A \\ 1 & \tan B & \cos^2 B \\ 1 & \tan C & \cos^2 C \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & \tan A & \cos^2 A \\ 0 & \tan B -\tan A & \cos^2 B-\cos^2 A \\ 0 & \tan C -\tan A & \cos^2 C -\cos^2 A \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & \tan A & \cos^2 A \\ 0 & \dfrac{\sin(B-A)}{\cos A\cos B} & \sin(A+B)\sin(A-B) \\ 0 & \dfrac{\sin(C-A)}{\cos A\cos C} & \sin(A+C)\sin(A-C) \end{pmatrix}$
$=\sin(A-B)\sin(A-C)\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & \tan A & \cos^2 A \\ 0 & -\dfrac{1}{\cos A\cos B} & \cos C \\ 0 & -\dfrac{1}{\cos A\cos C} & \cos B \end{pmatrix}$
$=\sin(A-B)\sin(A-C)\mbox{det}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\cos A\cos B} & \cos C \\ -\dfrac{1}{\cos A\cos C} & \cos B \end{pmatrix}$ $=0$
であるから， $\cos x=1$ となる．