https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1933/Kougaku

2025.01.22記

[4] 半徑 $r_0$ ， $r$ 　及ビ $R$ ヲ有スル三ツノ同心圓，及ビ互ニ直角ヲナス二ツノ半徑トニ依ツテ圍マレタル下圖ノ如キ平面圖形ノ重心ト圖ノ中心トノ間ノ距離ヲ求メヨ．

本問のテーマ

扇形の重心

2025.02.04記
扇形の重心 - 球面倶楽部零八式 mark II

を参照のこと．

[解答]
半径 $r_0$ の円の中心を原点とし，与えられた図の水平右側を $x$ 軸正の向きとする．

このとき，求める図形の半径 $r_0$ の円の部分を埋めた図形の重心の $x$ 座標を $g$ とすると，
$-\dfrac{3}{4}\pi r^2\cdot \dfrac{2r}{3}\dfrac{\sin(3\pi/4)}{3\pi/4}$ $+\dfrac{1}{4}\pi R^2\cdot \dfrac{2R}{3}\dfrac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}=\dfrac{3r^2+R^2}{4}\pi g$
つまり
$g=\dfrac{8}{3\sqrt{2}}\cdot\dfrac{R^3-r^3}{(R^2+3r^2)\pi}$
となる．求める図形の重心の $x$ 座標を $G$ とすると
$\pi r_0^2\cdot 0 +\dfrac{\pi (R^2+3r^2-4r_0^2)}{4}\cdot G$ $=\dfrac{\pi (R^2+3r^2)}{4}\cdot g$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{3}(R^3-r^3)$
となるので，
$G=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\dfrac{R^3-r^3}{\pi (R^2+3r^2-4r_0^2)}$
となる．

$r_0\lt r\lt R$ から $G\gt 0$ となる．