https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1933/Kougaku

2025.01.22記

[3] 次ノ積分ヲ求メヨ．
(i) $\displaystyle\int\dfrac{x^7}{a+bx^2}\,dx$

(ii) $\displaystyle\int e^{5x} \sin3x\cos2x\, dx$ .

2025.02.04記

[解答]
(i) $b=0$ のとき $\dfrac{x^8}{8a}+(積分定数)$ ，

$b\neq 0$ のとき
$\displaystyle\int\dfrac{x^7}{a+bx^2}\,dx$
$=\displaystyle\int\left(\dfrac{x^5}{b}-\dfrac{ax^3}{b^2}+\dfrac{a^2x}{b^3}-\dfrac{a^3x}{b^3(a+bx^2)}\right)\,dx$
$=\dfrac{x^6}{6b}-\dfrac{ax^4}{4b^2}+\dfrac{a^2x^2}{2b^3}-\dfrac{a^3}{2b^4}\log|a+bx^2|+(積分定数)$

(ii) $a^2+b^2\neq 0$ のとき $\displaystyle\int e^{ax} \sin bx\, dx$ $=\dfrac{1}{a^2+b^2}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+(積分定数)$ であるから，
$\displaystyle\int e^{5x} \sin3x\cos2x\, dx$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int e^{5x} (\sin 5x + \sin x)\, dx$
$=e^{5x}\left(\dfrac{\sin 5x-\cos 5x}{20}+\dfrac{5\sin x-\cos x}{52}\right)+(積分定数)$
となる．