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1933-02-08

1933年(昭和8年)京都帝國大學工學部-數學[2]

2025.01.22記

[2] 次ノ級數ガ収斂級數ナルコトヲ證明セヨ．
$\dfrac{1}{x+x^{-1}}$ $+\dfrac{1}{3^2}\cdot\dfrac{1}{x^3+x^{-3}}$ $+\dfrac{1}{5^2}\cdot\dfrac{1}{x^5+x^{-5}}$ $+\cdots$
但シ $x\gt 1$

2025.02.04記

[解答]
AM-GM 不等式により $x^{k}+x^{-k}\gt 2$ （∵ $x\gt 1$ ）
だから
$\dfrac{1}{(2n+1)^2}\cdot\dfrac{1}{x^{2n+1}+x^{-2n-1}}$ $\lt\dfrac{1}{2(2n+1)^2}\dfrac{1}{8n^2+8n+2}$ $\lt\dfrac{1}{n^2+n}$ $=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
となるので，
$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(2n+1)^2}\cdot\dfrac{1}{x^{2n+1}+x^{-2n-1}}$
$\lt 1-\dfrac{1}{n+1}\lt 1$
が成立する． $S_n$ は単調増加で上に有界であるから収束する．

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