1933年(昭和8年)京都帝國大學醫學部-數學[3]

2025.01.22記

[3] 極座標ニ關シテ次ノ方程式ニテ表ハサレタル曲線ノ全長ヲ求メヨ．
$r=a(1-\sin\theta)$
但シ $a$ ハ正ノ常數ナリトス．

本問のテーマ

心臓形(カージオイド；cardioid)

2025.02.04記

[解答]
曲線の全長を $s$ とすると
$s=2\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$ $=2\sqrt{2}a \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{1-\sin\theta}\,d\theta$
で $\theta+\dfrac{\pi}{2}=\varphi$ とおくと
$s=2\sqrt{2}a \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\,d\varphi$ $=4a \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos\dfrac{\varphi}{2}\,d\varphi$ $=8a$
となる．

以上の内容はhttps://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1933/Igaku_3より取得しました。
このページはhttp://font.textar.tv/のウェブフォントを使用してます

不具合報告/要望等はこちらへお願いします。
モバイルやる夫Viewer Ver0.14