https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1932/Rigaku

2025.01.22記

[2] 圖ニ於テ曲線 $\rm APB$ ハ抛物線， $\rm PQ$ ハ $\rm P$ 點ニ於ケル切線トシ $\rm AB$ ハ $\rm PQ$ ニ平行ナル弦トスル．然ルトキハ曲線ト弦 $\rm AB$ トデ圍マレタ部分ノ面積ハ三角形 $\rm APB$ ノ面積ノ $\dfrac{4}{3}$ 倍デアル．之ヲ證セヨ．

2025.02.04記

[解答]
放物線を $y=kx^2$ ， $\mbox{A}(a，ka^2)$ ， $\mbox{B}(b，kb^2)$ （ $k\gt0；a\lt b$ ）とすると $\rm AB$ の傾きが $k(a+b)$ であるから $\mbox{P}\left(\dfrac{a+b}{2}，\dfrac{k(a+b)^2}{4}\right)$ となる．

$\triangle\rm ABP$ $=\dfrac{1}{2}(b-a)\cdot\left\{\dfrac{ka^2+kb^2}{2}-\dfrac{k(a+b)^2}{4}\right\}$ $=\dfrac{k}{8}(b-a)^3$
であり，曲線と弦で囲まれた部分の面積は $\dfrac{k}{6}(b-a)^3$ であるから，
曲線と弦で囲まれた部分の面積は三角形 $\rm APB$ の面積の $\dfrac{4}{3}$ 倍である．