https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1932/Rigaku

2025.01.22記

[1] 次ノ無限級數ハ $x$ ノ如何ナル實數値ニ對シテ収斂スルカ．
$1+\dfrac{1}{2^x}+\dfrac{1}{3^x}+\cdots+\dfrac{1}{n^x}+\cdots$

本問のテーマ

Integral test

2025.02.04記
文献によっては $1+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{3x}+\cdots+\dfrac{1}{nx}+\cdots$ となっていたが，この場合，
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{3x}+\cdots+\dfrac{1}{nx}+\cdots$
でないと数学の出題っぽくないし，この場合 $x$ の値によらず収束しないので問題文は誤りであると考えることができ，
$1+\dfrac{1}{2^x}+\dfrac{1}{3^x}+\cdots+\dfrac{1}{n^x}+\cdots$ $=\dfrac{1}{1^x}+\dfrac{1}{2^x}+\dfrac{1}{3^x}+\cdots+\dfrac{1}{n^x}+\cdots$
の方が自然な出題であるため，こちらを採用する．

数列の収束を積分で判定する integral test を用いる．
Integral test for convergence - Wikipedia

[解答]
$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^x}$ とおくと $S_n$ は単調増加である．

(i) $x\gt 1$ のとき：
$S_n\lt 1+\displaystyle\int_1^{n}\dfrac{1}{t^x}\,dt$ $=1+\dfrac{1}{x-1}\left(1-\dfrac{1}{n^{x-1}}\right)\lt 1$
であるから，上に有界となり， $S_n$ は収束する．

(ii) $x=1$ のとき：
$S_n\gt \displaystyle\int_1^{n+1}\dfrac{1}{t}\,dt$ $=\log(n+1)\to+\infty$
より， $S_n$ は発散する．

(ii) $x\lt 1$ のとき：
$S_n\gt \displaystyle\int_1^{n+1} t^{-x}\,dt$ $=\dfrac{1}{1-x}\left((n+1)^{1-x}-1\right)\to+\infty$
より， $S_n$ は発散する．

以上から， $x\gt 1$ のときに収束する．