https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1932/Nougaku

2025.01.23記

[4] 曲線 $x=a\cos^3\theta$ ， $y=a\sin^3\theta$ ノ包ム全面積ヲ計算セヨ．

本問のテーマ

アステロイド(星芒形)の面積
Wallis 積分
ガウスグリーンの定理

2025.02.05記
Wallis 積分を用いた解法

[解答]
$4\displaystyle\int_0^{\pi/2} y\dfrac{dx}{d\theta}\,d\theta$ $=4a^2\displaystyle\int_0^{\pi/2} 3\sin^4\theta\cos^2\theta\,d\theta$ $=12a^2\displaystyle\int_0^{\pi/2} \left(\sin^4\theta-\sin^6\theta\right)\,d\theta$ $=12a^2\left(1-\dfrac{5}{6}\right)\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ $=\dfrac{3\pi}{8}a^2$
となる．

2025.02.20記
ガウスグリーンの定理を用いた解法

[解答]
$x'=-3a\cos^2\theta\sin\theta$ ， $y'=3a\sin^2\theta\cos\theta$
により
$\dfrac{1}{2}(x'y-xy')=\dfrac{3a^2}{8}\sin^2 2\theta$
であるから，求める面積は
$S=\dfrac{3a^2}{2} \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 2\theta\, d\theta$
となる．ここで
$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 2\theta\, d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^2 2\theta\, d\theta$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi/2} d\theta=\dfrac{\pi}{4}$
であるから
$S=\dfrac{3a^2}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4}$ $=\dfrac{3\pi}{8}a^2$
となる．

Wallis 積分を証明せずに使うのをためらうならガウスグリーンの定理を使う方が計算は楽になる．