https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1932/Kougaku

2025.01.22記

[3] $r=e^{\frac{\theta}{2}}$ ノ， $r=1$ ヨリ $r=2$ ニ至ル間ノ曲線ノ長サヲ求ム．

出典では「 $r=e^{\frac{\theta}{2}}$ ， $r=1$ ヨリ $r=2$ ニ至ル間ノ曲線ノ長サヲ求ム．」と「ノ」がなかった．

本問のテーマ

2025.02.05記

[解答]
$r=1$ となるのは $\theta=0$ ， $r=2$ となるのは $\theta=2\log 2$ だから，求める長さは
$\displaystyle\int_0^{2\log 2}\sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}\, d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{2\log 2}\sqrt{e^{\theta}+\dfrac{1}{4}e^{\theta}}\, d\theta$ $=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\displaystyle\int_0^{2\log 2} e^{\theta /2}\, d\theta$ $=\sqrt{5}\left(e^{2\log2 /2}-e^0\right)=\sqrt{5}(2-1)=\sqrt{5}$
となる．

$ds=\sqrt{dr^2+r^2d\theta^2}=\sqrt{1+r^2\left(\dfrac{d\theta}{dr}\right)^2}$ でもある．

[うまい解答]
$\theta=2\log r$ より $\dfrac{d\theta}{dr}=\dfrac{2}{r}$ だから，求める長さは
$\displaystyle\int_1^{2}\sqrt{1+r^2\left(\dfrac{d\theta}{dr}\right)^2}\, dr$ $=\displaystyle\int_1^{2}\sqrt{5}\, dr=\sqrt{5}$
となる．

対数螺旋は回転拡大して重なるので $r=\alpha$ から $r=\beta$ までの符号付き弧長を $L(\alpha，\beta)$ とおくと，任意の $\alpha，\beta\in\mathbb{R}$ について
$L(\alpha，\beta)=\alpha L(0，\beta-\alpha)$
が成立するので，
$\alpha，\beta\in\mathbb{R}^{+}$ について
$L(0，\alpha+\beta)=L_(0，\alpha)+\alpha L(0，\beta)=L(0，\beta)+\beta L(0，\alpha)$
から（ $\alpha，\beta\neq 0$ のとき）
$\dfrac{L(0，\alpha)}{\alpha-1}=\dfrac{L(0，\beta)}{\beta-1}$
が成立する．よって
$\dfrac{L(0，r)}{r-1}$ は $r\in\mathbb{R}^{+}$ で定数関数であり，
$L(0，r)=C(r-1)$ （ $C$ は(正の)定数）
となることがわかり，任意の $x，y\in\mathbb{R}^{+}$ について
$L(r_1，r_2)=C(r_2-r_1)$ （ $C$ は(正の)定数）
となることがわかる．

ここで $dr=\dfrac{1}{2}r\, d\theta$ であるから
$L(1，1+dr)$ は $(1，0)$ と $\left(d\theta，\dfrac{d\theta}{2}\right)=(2dr，dr)$ （いま $r=1$ である）を結ぶ長さ $\sqrt{5}$ だから
$L(1，1+dr)=\sqrt{5}\,dr=C\,dr$
となり $C=\sqrt{5}$ となる．よって
$L(r_1，r_2)=\sqrt{5}(r_2-r_1)$
となる．