https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1932/Kougaku

2025.01.22記

[2] $u=\dfrac{x}{x^2+y^2}$ ナルトキ， $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ ヲ求ム．

本問のテーマ

2025.02.05記

[解答]
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$ $=\dfrac{1}{x^2+y^2}-\dfrac{2x^2}{(x^2+y^2)^2}$ $=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ， $\dfrac{\partial u}{\partial y}$ $=-\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$
であるから，
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $=\dfrac{-2x}{(x^2+y^2)^2}-2\dfrac{(y^2-x^2)\cdot 2x}{(x^2+y^2)^3}$ $=\dfrac{2x(x^2-3y^2)}{(x^2+y^2)^3}$ ，
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ $=\dfrac{-2x}{(x^2+y^2)^2}+2\dfrac{4xy^2}{(x^2+y^2)^3}$ $=\dfrac{2x(3y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3}$
であるから，
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$
である．

[大人の解答]
$x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ とおくと
$u=\dfrac{\cos\theta}{r}$
であり，
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ $=\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial u}{\partial r}+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}$ $=2\dfrac{\cos\theta}{r^3}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\cos\theta}{r^2}-\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\cos\theta}{r}=0$
である．