https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1931/Rigaku

2025.01.22記

[3] The curve $\dfrac{x^2}{\alpha^2}+\dfrac{y^2}{\beta^2}=1$ revolves around one of its tangents whose distance from the centre of the figure is $p$ . Prove that the volume of revolution is $\pi\alpha\beta\cdot 2\pi p$ .

[3] 曲線 $\dfrac{x^2}{\alpha^2}+\dfrac{y^2}{\beta^2}=1$ をこの曲線の中心からの距離が $p$ となる接線のまわりに1回転させる．この回転体の体積が $\pi\alpha\beta\cdot 2\pi p$ であることを示せ．

本問のテーマ

パップスギュルダン(Pappus–Guldinus)の(第二)定理
傘型分割

2025.02.05記
当時の出版物の解答には「Pappus, Guldin ノ定理ヲ用ヒ」とあるが，それで良いのか？

楕円の面積は $\pi\alpha\beta$ であるから，Pappus-Grudin の定理から回転体の体積は $2\pi p\cdot \pi\alpha\beta$ である．

というのはどうかと思うので，Pappus-Grudin の定理を証明するように求めることにする．

パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の定理 - 球面倶楽部零八式 mark II

[解答]
楕円 $\dfrac{x^2}{\alpha^2}+\dfrac{y^2}{\beta^2}=1$ を原点中心に回転した楕円の式は
$Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$
（ $A+C=\dfrac{1}{\alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}$ ， $AC-B^2=\dfrac{1}{\alpha^2\beta^2}$ ）
の形をしており（このとき $A，C\gt 0$ である），この楕円の $x$ 座標の最小値は $-\sqrt{\dfrac{C}{AC-B^2}}$ であるから， $p=\sqrt{\dfrac{C}{AC-B^2}}$ として楕円 $A(x-p)^2+2B(x-p)y+Cy^2=1$ を $y$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積 $V$ が $\pi\cdot\dfrac{1}{\sqrt{AC-B^2}}\cdot 2\pi p$ $=\dfrac{2\pi^2 p^2}{\sqrt{C}}$ となることを示せば良い．

楕円の式が
$y=\dfrac{-B(x-p)\pm\sqrt{C-(AC-B^2)(x-p)^2}}{C}$ $=\dfrac{-Bp(x-p)\pm\sqrt{C}\sqrt{p^2-(x-p)^2}}{Cp}$

となることに注意すると，
$V=\displaystyle\int_0^{2p} 2\pi x\cdot \dfrac{2\sqrt{p^2-(x-p)^2}}{\sqrt{C}p}\, dx$
$=\dfrac{4\pi}{\sqrt{C}p} \displaystyle\int_{-p}^{p} (x+p)\cdot \sqrt{p^2-x^2}\, dx$ （ $x-p \to x$ に置換）
$=\dfrac{4\pi}{\sqrt{C}} \displaystyle\int_{-p}^{p} \sqrt{p^2-x^2}\, dx$ （奇関数の積分は消える）
$=\dfrac{4\pi}{\sqrt{C}}\cdot\dfrac{\pi p^2}{2}$ （半円の面積）
$=\dfrac{2\pi^2 p^2}{\sqrt{C}}$
となるので，題意は示された．

楕円 $\dfrac{x^2}{\alpha^2}+\dfrac{y^2}{\beta^2}=1$ を原点中心に $\theta$ 回転した図形は
$\dfrac{(x\cos\theta+y\sin\theta)^2}{\alpha^2}+\dfrac{(-x\sin\theta+y\cos\theta)^2}{\beta^2}=1$
となり，として進めると計算が大変になるので[解答]のように適当に置き換えた方が良い．

傘型分割

$a\leqq x\leqq b$ において，直線 $y=mx+n$ とそれよりも下にある曲線 $y=f(x)$ で囲まれる部分 $f(x)\leqq y\leqq mx+n$ ， $a\leqq x\leqq b$ を直線 $y=mx+n$ のまわりに回転させてできる回転体の体積は
$\pi\dfrac{1}{\sqrt{1+m^2}}\displaystyle\int_a^b \{mx+n-f(x)\}^2 dx$
となる．

[うまい解答]
楕円上の点 $(-A，B)$ （楕円の対称性により $-A，B\gt 0$ として良く，どちらかが0のときは極限を考える）における接線 $-\dfrac{Ax}{\alpha^2}+\dfrac{By}{\beta^2}=1$ は $m=\dfrac{A\beta^2}{B\alpha^2}$ ， $n=\dfrac{\beta^2}{B}$ とおくと $y=mx+n$ となる．この接線と原点の距離は $p=\dfrac{n}{\sqrt{1+m^2}}$ である．

このとき回転体の体積 $V$ は $f(x)=\dfrac{\beta}{\alpha}\sqrt{\alpha^2-x^2}$ とおくと，　
$V=\dfrac{\pi}{\sqrt{1+m^2}}\displaystyle\int_{-\alpha}^{\alpha} [\{mx+n+f(x)\}^2-\{mx+n-f(x)\}^2]\, dx$ $=\dfrac{\pi}{\sqrt{1+m^2}}\displaystyle\int_{-\alpha}^{\alpha} 4(mx+n)f(x)\,dx$ $=\dfrac{8\pi n}{\sqrt{1+m^2}}\displaystyle\int_{0}^{\alpha} nf(x)\,dx$ （奇関数の積分は消える）
$=8\pi p\cdot \dfrac{\beta}{\alpha}\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\sqrt{\alpha^2-x^2}\,dx$
$=8\pi p\cdot \dfrac{\beta}{\alpha}\cdot\dfrac{\pi\alpha^2}{4}$ （四分円の面積）
$=2\pi^2 p\alpha\beta$
となるので，題意は示された．

パップスギュルダンの定理

$(回転体の体積)=(面積)\times(重心の移動距離)$
であることの証明は，回転軸である直線を $y$ 軸とする座標系で考えれば十分であるから，まずパップスギュルダンの定理を証明しても良い．この解答の利点は「被回転体の重心の位置（ $x，y$ 座標の両方とも）を計算し易い座標系で求めておけば，点と直線の距離から回転軸と重心の距離を求めるのが簡単になる」というものである．以下の解答では真面目に求めたが，図形の線対称性から楕円 $\dfrac{x^2}{\alpha^2}+\dfrac{y^2}{\beta^2}=1$ の重心が $(0，0)$ であることは明らかである．

[大人の解答]
回転軸を $y$ 軸とし， $a\leqq x\leqq b$ で $f(x)\leqq g(x)$ をみたすとき，この領域を $x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ は
$V=\displaystyle\int_a^b 2\pi x \{g(x)-f(x)\}\,dx$
である．領域の面積を $S$ とすると重心の $x$ 座標 $g$ は
$g=\dfrac{\displaystyle\int_a^b x \{g(x)-f(x)\}\,dx}{S}$ $=\dfrac{V}{2\pi S}$
で定まるので
$V=2\pi g\cdot S$
となる．この $g$ は領域の重心と回転軸（ $y$ 軸）の距離である．

さて，楕円 $\dfrac{x^2}{\alpha^2}+\dfrac{y^2}{\beta^2}=1$ の重心の $x$ 座標は
$\dfrac{1}{\pi\alpha\beta}\displaystyle\int_{-\alpha}^{\alpha} x \dfrac{2\beta}{\alpha}\sqrt{\alpha^2-x^2}\,dx=0$ （奇関数の積分は消える）
であり，重心の $y$ 座標は
$\dfrac{1}{\pi\alpha\beta}\displaystyle\int_{-\beta}^{\beta} x \dfrac{2\alpha}{\beta}\sqrt{\beta^2-y^2}\,dy=0$ （奇関数の積分は消える）
であるから，楕円の重心の座標は $(0，0)$ となり，楕円と回転軸との距離は楕円の中心と回転軸の距離 $p$ に等しい．

よって $V=2\pi p\cdot\pi\alpha\beta$ が成立する．