https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1931/Rigaku

2025.01.22記

[2] $a$ , $b$ are such that $2x+3y=5$ always touches the curve $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$ . Represent graphically the condition between $a$ and $b$ .

[2] $2x+3y=5$ が常に $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$ に接するように $a$ , $b$ を選ぶとき， $a$ と $b$ の間に成り立つ条件を図示せよ．

2025.02.05記

[解答]
双曲線 $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$ 上の点 $(p，q)$ における接線 $\dfrac{qy}{a^2}-\dfrac{px}{b^2}=1$ が $2x+3y=5$ に一致するので
$-\dfrac{p}{b^2}=\dfrac{2}{5}$ ，
$\dfrac{q}{a^2}=\dfrac{3}{5}$ ，
$\dfrac{q^2}{a^2}-\dfrac{p^2}{b^2}=1$
が成立する．よって
$\dfrac{a^2}{(5/3)^2}-\dfrac{b^2}{(5/2)^2}=1$
が成立する．

これを図示すると双曲線となる（図示略）．

$\dfrac{\{(5-2x)/3\} ^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$ の重解条件からも得られる．