https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1931/Rigaku

2025.01.22記

[1] Find the number of combinations of $n$ things $r$ at a time. Prove by the mathematical induction.

[1] $n$ 個から同時に $r$ 個取り出す組み合わせの個数を求め，数学的帰納法で証明せよ．

2025.02.05記

[解答]
$n，r$ は $n\geqq r$ を満たす自然数とし， $n$ 個から同時に $r$ 個取り出す組み合わせの個数を $C(n，r)$ とするとき，

$C(n，r)=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ であることを示す．

(i) 任意の自然数 $N$ に対して $C(N，1)=N$ ， $C(N，N)=1$ であることは明らかである．

(ii) 任意の $N\geqq n\geqq r$ なる自然数 $n，r$ に対して
$C(n，r)=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ であるとする（ $0!=1$ である）．

$N+1$ 個から $r$ （ $2\leqq r\leqq N$ ）個を選ぶとき，
特定の1個が含まれる場合の数は $C(N，r-1)$ 通り，
特定の1個が含まれない場合の数は $C(N，r)$ 通りであるから
$C(N+1，r)=C(N，r-1)+C(N，r)$
$=\dfrac{N!}{(r-1)!(N-r+1)!}+\dfrac{N!}{r!(N-r)!}$
$=\dfrac{N!}{(r-1)!(N-r)!}\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{N-r+1}\right)$
$=\dfrac{N!}{(r-1)!(N-r)!}\cdot\dfrac{N+1}{r(N-r+1)}$
$=\dfrac{(N+1)!}{r!(N-r+1)!}$
が $2\leqq r\leqq N$ なる $r$ について成立する．

これと(i) の $C(N+1，1)=N+1$ ， $C(N+1，N+1)=1$ をあわせて $1\leqq r\leqq N+1$ なる任意の自然数 $r$ について
$C(N+1，r)=\dfrac{(N+1)!}{r!(N-r+1)!}$
が成立するので，任意の $N+1\geqq n\geqq r$ なる自然数 $n，r$ に対して $C(n，r)=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ が成立する．