https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1931/Nougaku

2025.01.22記

[4] Integrate $r^2dm$ for a hollow circular cylinder, whose outer and inner radii are $r_1$ and $r_2$ and the total mass is $m$ , $dm$ being element of mass and $r$ being its distance from the axis of the cylinder.

[4] 内側の半径が $r_1$ ，外側の半径が $r_2$ であり，総重量が $m$ である中空の円筒に対して $r^2\,dm$ を積分せよ．但し $dm$ は質量要素であり， $r$ は円柱の軸からの距離である．

本問のテーマ

中空円筒の軸に関する慣性モーメント

2025.02.05記

[解答]
円柱の高さを $h$ ，円柱の密度を $\rho$ で一定であるとすると
$m=\pi(r_2^2-r_1^2)h\rho$
が成立するので
$dm=\pi(r_2^2-r_1^2)h\,d\rho$
である．

求める積分は円柱座標で考えて
$\displaystyle\int_{r=r_1}^{r_2}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^h r^2\, \rho\, rdrd\theta dz$ $=2\pi h\rho \displaystyle\int_{r=r_1}^{r_2} r^3\, dr$ $=\pi h\rho h\cdot\dfrac{r_2^4-r_1^4}{2}$ $=\dfrac{m}{2}(r_1^2+r_2^2)$
となる．