https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1931/Nougaku

2025.01.22記

[2] Find the co-ordinates of the center of the following ellipse $x^2+y^2-3(x+y)-xy=0$ .

[2] 次の楕円 $x^2+y^2-3(x+y)-xy=0$ の中心の座標を求めよ．

2025.02.05記

[解答]
楕円の式は $x，y$ の対称式だから，その中心は $y=x$ 上にある．

楕円の式を $x$ の2次方程式とみて判別式をとると
$(3+y)^2-4(y^2-3y)=-3(y^2-6y-3)\geqq 0$
であるから，楕円と $x$ 軸に平行な直線とが交わるような $y$ 座標の範囲は $y^2-6y-3\leqq 0$ であり，このような $y$ 座標の真ん中の値は解と係数の関係から $y=3$ となり，これが楕円の中心の $y$ 座標である．

よって楕円の中心の座標は $(3，3)$ である．

[解答]
$(2x-y-3)dx+(2y-x-3)dy=0$ は $\{2(x-3)-(y-3)\}dx+\{2(y-3)-(x-3)\}dy=0$ と書き直せるので， $\dfrac{dy}{dx}$ の値は $(3，3)$ に関して対称な点に対して等しくなる．

よって楕円の中心の座標は $(3，3)$ である．