https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1931/Kougaku

2025.01.22記

[4] 次ノ積分ヲ求ム．
$\displaystyle\int\dfrac{x}{\cos^2 x}\,dx$ ，
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(a+bx)}\,dx$ ，
$\displaystyle\int \cos^2 x\,dx$

2025.02.05記

[解答]
$\displaystyle\int\dfrac{x}{\cos^2 x}\,dx$ $=x\tan x+\log|\cos x|+(積分定数)$
である．

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(a+bx)}\,dx$ は
$a=0，b\neq 0$ のとき $-\dfrac{1}{bx}+(積分定数)$ ，
$a\neq 0，b=0$ のとき $\dfrac{1}{a}\log|x|+(積分定数)$ ，
となり， $a\neq 0，b\neq 0$ のときは
$\displaystyle\int \dfrac{1}{b}\cdot \dfrac{1}{x(x+a/b)}\, dx$ $=\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{a/b}\log\left|\dfrac{x}{x+a/b}\right|+(積分定数)$ $=\dfrac{1}{a}\log\left|\dfrac{x}{a+bx}\right|+(積分定数)$
となる（これは $a\neq 0，b=0$ のときの結果を含む）．

$\displaystyle\int \cos^2 x\,dx$ $=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}++(積分定数)$
である．