https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1931/Igaku

2025.01.22記

[3] 一ノ圓ガ，之ト同一平面上ニ在リテ且ツ之レト交ハラザル一ノ直線ヲ軸トシテ廻轉シテ生ジタル環状體ノ表面積ヲ求メヨ．但シ圓ノ半徑ヲ $a$ ，圓ノ中心ヨリ直線ニ至ル距離ヲ $b$ トス．

本問のテーマ

パップスギュルダンの第一定理（表面積）

2025.02.05記
パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の定理 - 球面倶楽部零八式 mark II

パップスギュルダンの第一定理から $2\pi b\cdot 2\pi a=4\pi^2 ab$ となる．

[解答]
円周のパラメータ表示は $(a\cos\theta，b+a\sin\theta)$ であるから，線素 $ds=a\,d\theta$ が作る円錐台の側面の面積は
$2\pi y\,ds=2\pi (b+a\sin\theta)\cdot a\,d\theta=2\pi a(a\sin\theta+b)\,d\theta$
となる．よって求める表面積は
$\displaystyle\int_0^{2\pi}2\pi a(a\sin\theta+b)\,d\theta$ $=4\pi^2ab$
となる．