https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1931/Igaku

2025.01.22記

[1] $ax^3+bx^2+cx+d=0$ ナル方程式ノ根 $l，m，n$ ナル時ハ， $a^2x^3-acx^2+bdx-d^2=0$ ナル方程式ノ根ハ $lm，ln，mn$ ナルコトヲ證明セヨ．

2025.02.05記

[解答]
$lm，ln，mn$ は $\dfrac{lmn}{n}=-\dfrac{d}{an}，\dfrac{lmn}{m}-\dfrac{d}{am}，\dfrac{lmn}{l}-\dfrac{d}{al}$ であるから，これらを解とする $t$ の3次方程式は
$t=-\dfrac{d}{ax}$ ，つまり $x=-\dfrac{d}{at}$ を $ax^3+bx^2+cx+d=0$ に代入して
$-a\cdot\dfrac{d^3}{a^3t^3}+b\cdot\dfrac{d^2}{a^2t^2}-c\cdot\dfrac{d}{at}+d=0$
両辺に $\dfrac{a^2t^3}{d}$ を乗じて
$-d^2+bdt - ac t^2 +a^2t^3=0$
となる．よって与えられた3数を解とする $x$ の3次方程式は
$a^2x^3-acx^2+bdx-d^2=0$
となる．

[解答]
$l+m+n=-\dfrac{b}{a}$ ， $lm+mn+nl=\dfrac{c}{a}$ ， $lmn=-\dfrac{d}{a}$
から
$lm+ln+mn=-\dfrac{c}{a}$ ， $(lm)(mn)+(mn)(nl)+(nl)(lm)=lmn(l+m+n)=\dfrac{bd}{a^2}$ ， $(lm)(mn)(nl)=(lmn)^2=\dfrac{d^2}{a^2}$
より
$a^2(x-lm)(x-mn)(x-nl)=a^2\left(x^3-\dfrac{c}{a}x^2+\dfrac{bd}{a^2}x-\dfrac{d^2}{a^2}\right)$ $=a^2x^3-acx^2+bdx-d^2$
となるので題意は示された．