1930年(昭和5年)京都帝國大學理學部-數學[4]

2025.01.21記

[4] $\displaystyle\int\dfrac{d\theta}{\cos\theta+3}$ .

本問のテーマ

2025.02.05記
ワイエルシュトラス置換という名称が受験数学に広まったのはここ数年な気がする．

[解答]
$\tan\dfrac{\theta}{2}=t$ と置換すると
$\displaystyle\int\dfrac{d\theta}{\cos\theta+3}$ $=\displaystyle\int\dfrac{dt}{2+t^2}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mbox{Arctan}\,\dfrac{t}{\sqrt{2}}+(積分定数)$ $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mbox{Arctan}\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\tan\dfrac{\theta}{2}\right)+(積分定数)$
となる．

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