https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1930/Rigaku

2025.01.21記

[3] In a plane, rectangular axes $\mbox{O}x$ , $\mbox{O}y$ and a point $\mbox{P}$ are given. Through $\mbox{P}$ a straight line is drown meeting $\mbox{O}x$ , $\mbox{O}y$ at $\mbox{A}$ , $\mbox{B}$ respectively, find the least area, the triangle $\mbox{OAB}$ may have.

複数の出典では「str. line」となっていたが「straight line」と記述した

[3] 平面上に直交軸 $\mbox{O}x$ ， $\mbox{O}y$ 及び点 $\mbox{P}$ が与えられている． $\mbox{P}$ を通る直線が $\mbox{O}x$ ， $\mbox{O}y$ と交わる点をそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ とする．三角形 $\mbox{OAB}$ の面積が最小となるのはいつか．

2025.02.05記
$\mbox{O}x$ ， $\mbox{O}y$ を半直線と考えて $\rm P$ が $\angle x\mbox{O}y$ に含まれるか否かを考える解答もあったが，ここでは直線と考えておく．

[解答]
点 $\rm P$ が軸上にあるときは三角形 $\mbox{OAB}$ の面積の最小値は，直線がどちらかの軸に一致するときで $0$ となる．

以降，点 $\rm P$ は軸上にないとし，対称性から点 $\rm P$ が第一象限内部に含まれるとして一般性を失わない．また， $\rm P$ を通る直線が軸に平行であるときには三角形 $\mbox{OAB}$ の面積は無限大に発散するので，直線は両軸とおに平行ではないとし，このとき直線は両軸の正の部分と交わる．

よって $\mbox{P}(p，q)$ （ $p，q\gt 0$ ）とおき， $\rm P$ を通る直線と両軸の交点を $\rm{A}(a，0)$ ， $\rm{B}(0，b)$ （ $a，b\gt 0$ ）とおくと
$\dfrac{p}{a}+\dfrac{q}{b}=1$ のときの $S=\dfrac{1}{2}ab$ の最小値について考えれば良い．

AM-GM 不等式により
$1=\dfrac{p}{a}+\dfrac{q}{b}\geqq 2\sqrt{\dfrac{pq}{ab}}=\sqrt{\dfrac{2pq}{S}}$
つまり
$S\geqq 2pq$
（等号成立は $\dfrac{p}{a}=\dfrac{q}{b}=\dfrac{1}{2}$ ，つまり $\rm P$ が $\rm AB$ の中点のとき）が成立する．

答案としては不十分である（明らかとせずに示すべきこともある）が，双曲線の接線の性質を知っていると次のように考えることもできる．

[うまい解答]
点 $\rm P$ が軸上にあるときは三角形 $\mbox{OAB}$ の面積の最小値は，直線がどちらかの軸に一致するときで $0$ となる．

以降，点 $\rm P$ は軸上にないとし，対称性から点 $\rm P$ が第一象限内部に含まれるとして一般性を失わない．よって $\mbox{P}(p，q)$ （ $p，q\gt 0$ ）とおく．

双曲線 $xy=pq$ 上の点 $(X，Y)$ における接線に関して原点 $\rm O$ と $\rm P$ は反対側にある（但し $\rm P$ における接線の場合のみ $\rm P$ は直線上）．

双曲線における接線と両軸で囲まれる三角形の面積は $2pq$ で一定であり， $\rm P$ を通る直線 $\rm AB$ と平行な双曲線の接線は直線 $\rm AB$ よりも原点に近いことから，三角形 $\rm OAB$ の面積 $S$ について
$S\leqq 2ab$ （等号成立は直線 $\rm AB$ が双曲線の $\rm P$ を通る接線のとき）
が成立する．よって $S$ が最小になるとき $\rm P$ は $\rm AB$ の中点となる．