https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1930/Rigaku

2025.01.21記

[2] Find the distance between the point $(a，b，c)$ and the plane $Ax+By+Cz=D$ (axes rectangular).

[2] 点 $(a，b，c)$ と平面 $Ax+By+Cz=D$ の距離を求めよ（軸は直交）．

2025.02.05記
点と平面の距離の公式を導けと解釈しておく．

[解答]
平面の法線ベクトルは $\overrightarrow{n}=(A，B，C)$ であるから，点 $\mbox{A}(a，b，c)$ から平面に下した垂線の足は $\mbox{H}(a+\lambda A，b+\lambda B，c+\lambda C)$ とおくことができ，これが平面上にあることから $\lambda (A^2+B^2+C^2)=D-Aa-Bb-Cc$ ，つまり $\lambda=-\dfrac{Aa+Bb+Cc-D}{A^2+B+2+C^2}$ が成立する．よって求める距離は $|\overrightarrow{\mbox{AH}}|=|\lambda|\cdot |\overrightarrow{n}|=\dfrac{|Aa+Bb+Cc-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ となる．

[解答]
平面上の点を点 $\mbox{P}(p，q，r)$ とすると $Ap+Bq+Cr=D$ が成立する．

点 $\mbox{A}(a，b，c)$ とおくと $\mbox{AP}^2$ $=(p-a)^2+(q-b)^2+(r-b)^2$ であり， $A(p-a)+B(q-b)+C(r-c)=D-Aa-Bb-Cc$ に注意すると，シュワルツの不等式から
$(A^2+B^2+C^2)\cdot \mbox{AP}^2$ $\geqq \{A(p-a)+B(q-b)+C(r-c)\}^2$ $=(D-Aa-Bb-Cc)^2$ ，
つまり
$\mbox{AP}\geqq\dfrac{|Aa+Bb+Cc-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
が成立する（等号成立は $\overrightarrow{\mbox{AP}}\parallel (A，B，C)$ ，つまり $\mbox{P}$ が $\rm A$ から平面に下した垂線の足のとき）．

[解答]
(1) 点 $\mbox{A}(a，b，c)$ が平面上にないとき：

点 $\mbox{A}(a，b，c)$ 中心，半径 $R$ （ $R\gt 0$ ）の球面上の点 $(a+p，b+q，c+r)$ における接平面の方程式は $p(x-a)+q(y-b)+r(y-c)=R^2$ であり，これが $Ax+By+Cz=D$ に一致するならば
$p=kA，q=kB，r=kC，R^2+pa+qb+rc=kD$
をみたす実数 $k$ が存在し， $p^2+q^2+r^2=R^2$ が成立する．

このとき $k^2(A^2+B^2+C^2)=R^2$ であるから
$R^2=kD-(pa+qb+rc)$ $=k\{D-(Aa+Bb+Cc)\}$ $=|k|\cdot |Aa+Bb+Cc-D|$ $=\dfrac{R}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\cdot |Aa+Bb+Cc-D|$
となり， $R\gt 0$ から
$R=\dfrac{|Aa+Bb+Cc-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
となり，これは $\rm A$ と平面の距離に等しい．

(2) 点 $\mbox{A}(a，b，c)$ が平面上にあるとき：
$Aa+Bb+Cc=D$ であり， $\rm A$ と平面の距離は $0$ であるから， $\rm A$ と平面の距離は $\dfrac{|Aa+Bb+Cc-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ となる．

以上から求める答えは $\dfrac{|Aa+Bb+Cc-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ となる．