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1930-02-18

1930年(昭和5年)京都帝國大學農學部-數學[3]

2025.01.21記

[3] 次ノ積分値ヲ求メヨ．
(イ) $\displaystyle\int e^{-ax}\cos bx\, dx$
(ロ) $\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{(a+bx)^3}}\, dx$

2025.02.16記

[解答]
(イ) $\dfrac{1}{a^2+b^2}e^{-ax}(-a\cos bx+b\sin bx)+(積分定数)$

(ロ) $b=0$ のとき $a\gt 0$ でなければならず，このとき $\dfrac{x^2}{2a\sqrt{a}}+(積分定数)$

$b\neq 0$ のとき
$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{(a+bx)^3}}\, dx$ $=\dfrac{1}{b}\displaystyle\int\left( \dfrac{1}{\sqrt{a+bx}}-\dfrac{a}{\sqrt{(a+bx)^3}}\right)\, dx$ $=\dfrac{2}{b^2}\left( \sqrt{a+bx}+\dfrac{a}{\sqrt{a+bx}}\right)+(積分定数)$ $=\dfrac{2(2a+bx)}{b^2\sqrt{a+bx}}+(積分定数)$

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