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1930年(昭和5年)京都帝國大學農學部-數學[3]

2025.01.21記

[3] 次ノ積分値ヲ求メヨ.
(イ) \displaystyle\int e^{-ax}\cos bx\, dx
(ロ) \displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{(a+bx)^3}}\, dx

2025.02.16記

[解答]
(イ) \dfrac{1}{a^2+b^2}e^{-ax}(-a\cos bx+b\sin bx)+(積分定数)

(ロ) b=0 のとき a\gt 0 でなければならず,このとき \dfrac{x^2}{2a\sqrt{a}}+(積分定数)

b\neq 0 のとき
\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{(a+bx)^3}}\, dx=\dfrac{1}{b}\displaystyle\int\left( \dfrac{1}{\sqrt{a+bx}}-\dfrac{a}{\sqrt{(a+bx)^3}}\right)\, dx=\dfrac{2}{b^2}\left( \sqrt{a+bx}+\dfrac{a}{\sqrt{a+bx}}\right)+(積分定数)=\dfrac{2(2a+bx)}{b^2\sqrt{a+bx}}+(積分定数)




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