https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1930/Nougaku

2025.01.21記

[1] 一點 $(x'，y')$ ヨリ，定圓 $x^2+y^2=r^2$ ヘ，切線ヲ引キシトキ，ソノ切點ノ座標ヲ求メヨ．

本問のテーマ

極と極線

2025.02.16記

[解答]
2接点を通る直線の方程式は $x'x+y'y=r^2$ だから，この直線と $x^2+y^2=r^2$ の交点の座標を求めれば良い．

$y'=0$ のとき $x'x=r^2$ と $x^2+y^2=r^2$ の交点は
$\left(\dfrac{r^2}{x'}，\pm \dfrac{r \sqrt{(x')^2-r^2}}{x'}\right)$
である．

$y'\neq 0$ のとき両辺に $(y')^2$ を乗じて
$(y')^2x^2+(r^2-x'x)^2=(y')^2r^2$
から
$\{(x')^2+(y')^2\} x^2-2r^2x'x+r^4-(y')^2r^2=0$
となり
$x=\dfrac{r^2x'\pm ry'\sqrt{(x')^2+(y')^2-r^2}}{(x')^2+(y')^2}$
が得られ，それらに対して
$y=\dfrac{r^2y'\mp rx'\sqrt{(x')^2+(y')^2-r^2}}{(x')^2+(y')^2}$
が得られるので交点の座標は
$\left(\dfrac{r^2x'\pm ry'\sqrt{(x')^2+(y')^2-r^2}}{(x')^2+(y')^2}，\dfrac{r^2y'\mp rx'\sqrt{(x')^2+(y')^2-r^2}}{(x')^2+(y')^2}\right)$
となる．これは $y'=0$ のときを含む．